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1、第一章 复数与复变函数,第一、二、三节 复数及其代数运算,第四、五、六节 复变函数（概念、极限、连续）,培养数学能力： 逻辑思维能力定量分析能力数学建模能力 科学计算能力 提高数学素养： 理性思考严谨审慎批判创新抽取本质实事求是,信息化背景下大学数学教育培养目标,1-3 复数及其代数运算,一、复数的概念,注意 :,复数不能比较大小.,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,二、复数的几种表示方法,1. 代数法:,2. 几何法:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,r,3. 向量法:,复数的模,三角不等式,几何上,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,复数的辐角:,第 一 节复 数
2、及 其 代 数 运 算,4. 三角法:,5. 指数法:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,三、复数的运算,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,特别的,几何意义:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,4. 共轭复数的运算,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,5. 幂与根,幂:,（德摩佛公式De Moivre）,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,方根:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,四、曲线的复数方程,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,例1 指出下列方程表示的曲线,解:法 1.,法 2.,第 一 节复
3、数 及 其 代 数 运 算,解:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,解:,解:,由向量的性质,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,解:,由几何意义，圆的方程为,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,例4 指出满足下列条件的点 z 的全体所构成的图形.,解:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,解:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,解:,如图:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,另解:,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,五、复球面,作一球面与复平面在坐标圆点相切,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,规定:,称球面为复球面,第 一 节复 数
4、及 其 代 数 运 算,第 一 节复 数 及 其 代 数 运 算,4 -6 复变函数（概念、极限、连续）,一、区域,1. 邻域:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,2. 内点:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,3. 开集:,若G内每一点都是内点，称G是开集,4. 区域:,连通的开集称为开区域，简称区域,（连通集是指集合内任何两点可用完全属于,5. 边界点:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,集合的折线连接起来）,的点，也有不属于D中的点，称P为D的边界点。,有属于D,6. 闭区域:,7. 有界区域:,称D为有界区域，否则，为无
5、界区域.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,二、单连通域与复连通域,1. 平面曲线的几个概念,（1）连续曲线:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,称为复变量实参数曲线方程。,（2）光滑曲线:,（3）简单曲线:,(直观上为无重点曲线);,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,则称曲线为简单闭曲线.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,2. 单连通区域:,若区域B内任何一条简单闭曲线，在B内可以,经过连续的变形而缩成一点，则称B为单连通区域.,多连通区域:,不是单连通的连通区域.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念
6、、极 限、连 续）,单连通域（无洞）,多连通域（有洞）,B,三、复变函数,1. 定义:,则称复变数w是复变数z的函数.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,2. 复变函数与实变函数的关系,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,例如:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,称函数 为映射,解:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,解:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,例如:,注:Z平面与W平面重合.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极
7、限、连 续）,解:,法 1 .,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,法 2,四、复变函数的极限和连续性,1. 极限定义:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,几何意义:,说明:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,定理1:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,注:此定理的意义在于，将复变函数的极限问题，,转化为两个二元实函数的极限问题.,证明:书上26页,证明:,法 1 :,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,k取不同时，极限值不相等.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,法 2 :,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,定理2 （四则运算法则）,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,2. 连续定义:,连续的等价形式:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,定理 3:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,定理4:,（1）连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍连续.,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,例如:,特别指出:,第 二 节 复 变 函 数 （概 念、极 限、连 续）,
