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1、第三章 图像变换,讲解内容1. 图像变换的目的、要求和应用2. 傅立叶级数、 频谱分析概念及其意义3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、 性质及其应用 目的1. 熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；2. 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法,第三章 图像变换,图像变换的目的在于：使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。 图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： 正交变换必须是可逆的； 正变换和反变换的算法不能太复杂； 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。 因此正交变换广泛应用在图
2、像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,在此讨论常用的傅立叶变换 。,图像变换的算法很多，本章主要讨论常用的二维傅里叶变换傅里叶变换；其次讨论了沃尔什哈达玛变换、哈尔变换、离散余弦变换；最后介绍了近年发展的小波变换。,3.1 预备知识 3.1.1点源和狄拉克函数在图像的处理中，常常用到点源的概念。事实上，一幅图像可以看成有无穷多极小的像素组成，每一个像素可以看成为一个点源，因此，一幅图像也可以看成有无穷多点源所组成。在数学上，点源可以用狄拉克函数 来表示。二维 函数克定义为,且满足,式中 为任意小的正数,冲击函数是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。冲量这一物
3、理现象很能说明冲击函数。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积。,据 函数的定义，它具有以下一些性质： （1）函数为偶函数,（2）位移性,或用卷积符号表示为,因此有, “卷积，这个数学怪物其实就是为 冲击函数诞生的。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限
4、小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，你我都感觉眩晕的卷积分产生了。,卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的Faltung)的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)*f2(t-v)dv，积分区间在0到t之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫”卷积”了。比方说在(0，100)间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，
5、那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它”回卷积分”，或者”卷积”了。,为了理解”卷积”的物理意义，不妨将那个问题”相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。 假设信号函数为f, 响应函数为g。f不仅是时间的函数(信号时有时无)，还是频率的函数(就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小)；g也是时间的函
6、数(有时候有反应，有时候没反应)，同时也是频率的函数(不同的波长其响应程度不一样)。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？ 这就需要卷积了。,要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点： 1、你信号来的时候正赶上人家”系统”的响应时间段吗？ 2、就算赶上系统响应时间段，响应有多少？ 响 应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。”交叠”体现在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看两个函数错开多少。,由于 f 和 g 两个函数
7、都有一定的带宽分布(假若不用开头提到的”表述变化”就是都有一定的时间带宽分布)，这个信号响应是在一定”范围”内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。 这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无(当然作为特例也可以永恒存在)的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。,（3）可分性,(4)筛选性,3.1.2二维线性不变系统,如果对二维函数施加某一运算满足 (1) (2),其中a为任意常数（也可为复数），则称运算
8、为二维线性运算。由它描述的系统，便称为二维线性系统。,条件（1）和（2）分别称为线性和齐次性条件，可以把它们写成,当输入为单位脉冲 时，系统的输出便称为脉冲响应，用 h(x,y) 表示。在图像处理中，他便是对点源的响应，称为点扩散函数,当输入的单位脉冲函数延迟了 单位，即当输入为 时，如果输出为 ，则称此系统为位移不变系统。显然，对位移不变系统来说，系统的输出仅和输入函数性态有关 ，而和作用的起点无关。,对于一个二维线性位移不变系统来说，如果输入为，输出为，系统加于输入的线性运算为，则有,上式表明，线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。 利用变量置换是（3.1
9、.13）写成,即输出为输入图像和点扩散函数的互相关函数,(三)函数及其付氏变换,1.函数的定义,(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。,3.函数在积分变换中的作用,(1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。(2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。(3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。,3.1.1 付氏积分
10、 （一）、付氏级数,称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b,上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件：, 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一 类间断点；, f（t）在a,b上只有有限个极值点。,3.1傅里叶变换,第三章 图像变换,从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为,其中 称为频率，频率对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，n称为fT(t)的n次谐波频率。,(二)付氏级数的复指数形式,在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为,付氏
11、积分定理 若f (t)在(-，+)上满足下列条件：,注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1，才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2条,才能保证 存在。,3.2傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在-T/2,T/2上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在-T/2,T/2可以展成傅立叶级数其复数形式为其中可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。,3.2.1 连续函数的傅立叶变换 1. 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，则
12、定义式为若已知F(u)，则傅立叶反变换为式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。,这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。,傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。这个名称是这样来的：用欧拉公式将(321)式中的指数项表示，如(321）中的积分解释为离散项的和的极限，则显然F(u)包含了正弦和余弦项的无限项和，而且u的每一个值确定了它所对应的正弦一余弦对的频率。,时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变
13、为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。,2. 二维连续函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为,|F(u，v)=R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (3.211)(u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (3.212) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (3.213),3.2.2 离散函数的傅立叶
14、变换 1.一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如图3.2.3所示。,将序列表示成f(x)=f(x0+xx) (3.216) 即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。,被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为F(u)=式中u=0，1，2，N1。反变换为 f(x)=式中x=0，1，2，N-1。,例如：对一维信号f(x)=1 0 1 0进行傅立叶变换。由得 u=0时， u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u
15、)= =Af(x),x,y,1,-1,j,-j,2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为F(u，v)= (3.220) 式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f(x，y)= (3.221)式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。 一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,需要说明的是：傅立叶谱通常用 的图像显示，而不是F(u,v)的直接显示。因为傅立叶变换中F(u,v)随u或v的增加衰减太快，这样只能表示F(u,v)高频项很少的峰，其余都难以表示清楚。而采用对数形式显示，就能更好表示F(u,v)的高频，这样便于对图像频谱的视觉理解；其次，利用傅立叶变换的平移性质，将f(x,y)傅立叶变换后的原点移到频率域窗口的中心显示，这样显示的傅立叶谱图像中，窗口中心为低频，向外为高频，从而便于分析。,
