中学数学研究(几何)第二讲

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1、1,中学几何研究,第二讲 平面几何研究与解题,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,2,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,（三）关于学习内容 在各个学段中，标准安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,3,空间与图形,空间观念主要表现在： 能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的

2、图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,4,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,5,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,第三学段（79年级）： 图形与几何 图形的性质 点、线、面、角；相交线与平行线；三角形； 四边形；圆；尺规作图；定

3、义、命题、定理,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,6,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,图形的变化 图形的轴对称；图形的旋转；图形的平移； 图形的相似；图形的投影 图形与坐标 坐标与图形的位置；坐标与图形的运动,，,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,7,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,8,七上 图形认识的初步,七下 相交线与平行线,七下 三角形,八上 全等三角形,八上 轴对称,八下 勾股定理,八下 四边形,九上 旋转,九上 圆,九下 相似,九下 投影与视图,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,9,七年级上册

4、第四章 图形认识的初步,4.1. 多姿多彩的图形 阅读与思考 几何学的起源 4.2. 直线、射线、线段 阅读与思考 长度的测量 4.3. 角 4.4. 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒 数学活动 小结 复习题4,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,10,七年级下册,第五章 相交线与平行线 5.1. 相交线 观察与猜想 看图时的错觉 5.2. 平行线及其判定 5.3. 平行线的性质 信息技术应用 探索两条直线的位置关系 5.4. 平移 数学活动 小结 复习题5,第七章 三角形 7.1. 与三角形有关的线段 信息技术应用 画图找规律 7.2. 与三角形有关的角 阅读与思考 为什么要证

5、明 7.3. 多边形及其内角和 阅读与思考 多边形的三角剖分 7.4. 课题学习 镶嵌 数学活动 小结 复习题7,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,11,八年级上册,第十一章 全等三角形 11.1 全等三角形 11.2 全等三角形的判定 阅读与思考 全等与全等三角形 11.3 角的平分线的性质 数学活动 小结 复习题11,第十二章 轴对称 12.1 轴对称 12.2 作轴对称图形 信息技术应用 探索轴对称的性质 12.3 等腰三角形 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 数学活动 小结 复习题12,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,12,八年级下册,第十八章 勾股定理

6、18.1 勾股定理 阅读与思考 勾股定理的证明 18.2 勾股定理的证明 数学活动 小结 复习题18,第十九章 四边形 19.1 平行四边形 阅读与思考 平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 实验与探究 巧拼正方形 19.3 梯形 观察与猜想 平面直角坐标系中的特殊四边形 19.4 课题学习 重心 数学活动 小结 复习题19,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,13,九年级上册,第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 23.2 中心对称 信息技术应用 探索旋转的性质 23.3 课题学习 图案设计 阅读与思考 旋转的对称性 数学活动 小结 复习题23,第二十四章 圆 24.1 圆

7、24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 阅读与思考 圆周率 24.4 弧长和扇形面积 实验与探究 设计跑道 数学活动 小结 复习题24,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,14,九年级下册,第二十七章 相似 27.1 图形的相似 27.2 相似三角形 观察与猜测 奇妙的分形图形 27.3 位似 信息技术应用 探索位似的性质 数学活动 小结 复习题27,第二十九章 投影与视图 29.1 投影 29.2 三视图 阅读与思考 视图的产生与应用 29.3 课题学习 制作立体模型 数学活动 小结 复习题29,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,15,中小学数学课程中

8、平面几何部分的内容要求,普通高中数学课程标准（实验） 数学4：平面上的向量； 数学5：解三角形。 平面向量（约12课时） 平面向量的实际背景及基本概念 向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 向量的应用,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,16,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,解三角形（约8课时） 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,17,中小学数学课程中平面几何部分的内

9、容要求,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,18,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求 必修4 第二章 平面向量,第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例 小结 复习参考题,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,19,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求 必修5 第一章 解三角形,第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 探究与发现 解三角形的进一步讨论 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶 实习作业 小结 复习参考题,2011年3月,第二讲 平面几何

10、研究与解题,20,2. 中学平面几何典型例题 2.1. 数学知识类 【例题1】七年级上册 第四章 图形认识初步,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,21,【例题2】七年级下册 第五章 相交线与平行线,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,22,【例题3】必修4 第二章 平面向量,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,23,【例题4】必修5 第一章 解三角形,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,24,2.2. 课题学习类 【例题5】八年级下册 第十九章 四边形 19.4 课题学习 重心 教材P112-114,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,25,2.3.

11、信息技术应用类 【例题6】九年级上册 第二十三章 旋转 23.2 中心对称 信息技术应用 探索旋转的性质 教材P69-70,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,26,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,27,2.4. 实验与探究类 【例题7】九年级上册 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积 实验与探究 设计跑道 教材P116,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,28,【例题8】必修5 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 探究与发现 解三角形的进一步讨论 教材P9-10,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,29,2.5. 数学活动类 【例题9】九年级

12、下册 第二十七章 相似 数学活动 教材P67-68,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,30,3. 中学数学平面几何考点分析 3.1. 初中竞赛类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,31,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,32,中学数学平面几何考点分析 初中竞赛类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,33,中学数学平面几何考点分析 初中竞赛类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,34,中学数学平面几何考点分析 初中竞赛类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,35,P,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,36,中学数学平

13、面几何考点分析 高中教科书例题类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,37,中学数学平面几何考点分析 高中教科书例题类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,38,中学数学平面几何考点分析 高中教科书例题类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,39,中学数学平面几何考点分析 高中教科书例题类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,40,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,41,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,42,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,20

14、11年3月,第二讲 平面几何研究与解题,43,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,44,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,45,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,46,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,47,中学数学平面几何考点分析 高考类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,48,中学数学平面几何考点分析 高观点下的中学数学类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,49,中学数学平面

15、几何考点分析 高观点下的中学数学类题目,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,50,4. 证题的一般思路 4.1. 命题的四种变化,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,51,例如：原命题：三角形中若两边相等，则其对角亦等。 （ ） 逆命题：三角形中若两角相等，则其对边亦等。 （ ） 否命题：三角形中若两边不等，则其对角亦不等。 （ ） 逆否命题：三角形中若两角不等，则其对边也不等。（ ）,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,52,例如：原命题：若两角为对顶角，则此两角相等。 （ ） 逆命题：若两角相等，则此两角为对顶角。 （ ） 否命题：若两角非对顶角，则此两角不等。 （

16、 ） 逆否命题：若两角不等，则此两角非对顶角。 （ ）,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,53,例如：原命题：若四边形四边相等，则为正方形。 （ ） 逆命题：若四边形为正方形，则四边相等。 （ ） 否命题：若四边形四边不等，则非正方形。 （ ） 逆否命题：若四边形非正方形，则四边不等。 （ ）,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,54,原命题真，它的逆命题和否命题未必真。 互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,55,充分条件，必要条件，充要条件,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,56,证题的一般思路,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,57,证题的一般思路,证题的一般思路有试误式与顿悟式思路。,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,58,几类问题的证明方法,课堂阅读,2011年3月,第二讲 平面几何研究与解题,59,几何轨迹与尺规作图 几何轨迹,在几何中，把具有某性质的点组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹。 此时，必须特别注意轨迹命题的两面证明的必要性，这是轨迹的定义所规定的： 任取合于条件C的一点，证明它在图形F上； 在图形F上任取一点，证明它合于条件C。,