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1、走进数学奥林匹克 学点奥林匹克数学,主讲：万永鹏,信阳市数学骨干教师培训专题讲座,走进数学奥林匹克 学点奥林匹克数学,1、奥林匹克数学的形成背景,2、奥林匹克数学的基本特征,3、奥林匹克数学命题原则,4、奥林匹克数学的命题方法,5、奥林匹克在数学教育中的地位与作用,奥林匹克数学的形成背景,1、数学奥林匹克的历史 1）溯源解难题竞赛的来龙去脉。 2）数学奥林匹克的先导匈牙利数学竞赛。 3）数学奥林匹克的兴起及发展。 4）数学奥林匹克在中国。 2、中学生数学奥林匹克概况 1）国际初中学生数学奥林匹克 2）中国初中数学奥林匹克,溯源解难题竞赛的来龙去脉,数学是锻炼思维的体操，其核心则是问题。可以说问
2、题是数学的心脏，数学奥林匹克是解题的竞赛，解数学难题的竞赛至少可以追溯到16世纪初期，当时，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三方程比赛使人记忆犹新。当时，意大利有一个数学家丰坦那。1535年另一位意大利的数学家菲奥向他挑战。双方各给对方出30题，为了迎接挑战，丰坦那作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜，意大利数学家发现的三次方程的解法被认为是16世纪元最壮观的数学成就之一。实际上数学界有这样的传统，相互之间喜欢用问题来考问对方或提出一个问题让大家来解。如德国数学家向苏步青提的问题公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的
3、兴趣。随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣。,上页,数学奥林匹克的先导匈牙利数学竞赛,世界上真正有组织的数学竞赛开始于1894年，当时匈牙利数学界为了纪念著名数学家，匈牙利数学会主席埃特沃斯荣任教育部长，而组织了第一届中学生数学竞赛，以后每年十月举行一次（两次世界大战，1956年匈牙利事件中断），每次竞赛出三道题，限四小时做完，允许使用任何参考书，这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题，中学生通过做这些试题，不断可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这
4、些知识及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等教学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助。匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，及至国际数学奥林匹克（IMO）的命题都产生了重大的影响，它的很多题，都被其它国家和 IMO，反复改造、变形，推广后引用。匈牙利数学竞赛已有一百年的历史，时值世界各国数学竞赛和IMO蓬勃发展的今天，我们尤为关切地认识到匈牙利数学竞赛在国际数学竞赛史册中占有引人瞩目的一页。,返回,数学奥林匹克的兴起及发展,第一阶段（1894年1933年）：数学奥林匹克的酝酿和发生时期 第二阶段（1934年1958年）：数学奥林匹克的萌芽和成长期 第三阶段（
5、1959年至今）数学奥林匹克的发展与完善时期,返回,数学奥林匹克在中国,第一阶段（1956年1965年）：花开花落 第二阶段（19781980）枯木逢春 第三阶段（1980至今）登上顶峰,返回,国内赛况我国的数学竞赛起步不算晚。解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛；1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作
6、会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。1985年，开始举办全国初中数学联赛；1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛；1991年，开始举办全国小学数学联赛。,“全国小学数学奥林匹克”（创办于1991年），它是一个“普及型、大众化”的活动，分为初赛（每年3月）、夏令营（每年暑期）。“全国初中数学联赛”（创办于1984年），采用“轮流做东”的形式由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，每年4月举行，分为一试和二试。“全国高中数
7、学联赛”（创办于1981年），承办方式与初中联赛相同，每年10月举行，分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年元月）。世界奥林匹克林数学竞赛（中国区）选拔赛，每年举办两届，是由中国关心下一代工作委员会教育发展中心等机构组织举办的赛事活动。其参赛对象为10至16周岁少年儿童，即小学三年级至初中三年级7个年级组。赛事的目的是在中国境内选拔优异的数学选手代表中国参加世界奥林匹克数学竞赛全球总决赛。1,国际初中学生数学奥林匹克,数学奥林匹克试题按知识内容，通常分为代数、几何、数论、组合数学等，但有些
8、试题往往同时涉及几个学科的知识，互相交叉，难以细分，实际上，数学奥林匹克试题的内容，它已涉及传统数学到现代数学的各个领域，走过了一段从古典传统到现代化的路程。IMO以传统的初等数学内容为起点，逐步加深难度，不断淘汰一些较陈旧的传统内容，同时挖掘传统内容精华并加以改造，注入新的表现形式，用新的数学的思想和方法重新处理，并逐步增加现代数学内容，渗透现代数学的思想和观点，目前，IMO命题的内容已稳定在代数（数列、不等式、多项式、函数方程）几何、数论、组合等方面，但仅仅掌握试题所涉及的数学知识，学会一些解题技巧，对付IMO是远远不够的，而要求选手具有一定的创造能力，灵活分析问题的能力和一定的数学机智，
9、赛题往往形式活泼，别具风格，虽然可以用中学数学知识解答，但问题本身又往往有深刻的思想和背景，它所代表的是一种特殊的数学，随着数学奥林匹克的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科奥林匹克数学或称为竞赛数学。奥林匹克数学不是大学数学，因为它的内容并不超出中学或中学生所能接受的范围，它所涉及的问题大多可用初等的方法解决，它又服务于培养数学奥林匹克选手，服务于并服从于数学奥林匹克的发展，它也不是中学数学，因为它有许多大学数学的背景，采用了许多现代数学思想和方法，这是一种大学数学的深刻及思想与中学数学的精妙技巧相结合的“中间数学”，它起着联系中学数学与大学数学的作用。众多的现代数学知识、方法和思想，通过这条
10、管道源源不断地输入中学数学，深化和延伸了中学数学，是中学数学现代化的一股重要动力和源泉。,返回,中国初中数学奥林匹克,实数代数式恒等式与恒等变形方程和不等式函数逻辑推理问题几何,教学大纲中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容以外，本大纲补充列出以下内容:,返回,竞赛大纲,数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定初中数学竞赛大纲（修订稿）以适应当前形势的需要。,本大纲是在国家教委
11、制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。教学大纲在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。教学大纲中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段
12、、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。,1、实数,十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。,2、代数式,综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。部分分式。对称式和轮换对称式。,3、恒等式与恒等变形,恒等式，恒等变形。整式、分式、根式的恒等变形。恒等式的证明。,4、方程和不等式,含字母系数的一元一次、二次方程的解法
13、。一元二次方程根的分布。含绝对值的一元一次、二次方程的解法。含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。含绝对值的一元一次不等式。简单的一次不定方程。列方程（组）解应用题。,5、函数,y=|ax+b|，y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。,6、逻辑推理问题,抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。简单的组合问题。逻辑推理问题，反证法。简单的极端原理。简单的枚举法。,7、几何,四种命题及其关系。三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关
14、系。面积及等积变换。三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。,竞赛题型,全国初中数学联赛每年4月举行，分为一试和二试。成绩公布的时间各省市不尽相同，北京市公布时间大约在五月底至六月。第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题，共70分，两试合计共140分。,题目结构,一试70分选择6题，填空4题（每题7分）代数几何数论组合（一般选填压轴）归纳知识点：实数化简；三角形的五心等方面是考察重点。但是其涵盖知识体系相对单一，有时候，选择题、填空题还是要用技巧性搞的；举特殊
15、值；（08年的二次根式一题）二试70分第一大题一元二次方程和二次函数的互相转化、根的分布、整数根问题（冲刺奖项的必对大题）第二大题几何综合题（冲刺一等奖的必对大题）考察点05、06三线共点、梅涅劳斯、赛瓦、09几何计算（四点共圆）、07，10相似三角形.几何方面应该多下功夫，争取能够拿下第三大题二试最后一题25分以数论为基础和其他结合，思路清楚的话简单5分能拿下来.,高中奥数考试形式,一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。,二试 平面几何,基本要求：掌握初中竞赛
16、大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和周长方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点重心。三角形内到三边距离之积最大的点重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法*。平面凸集、凸包及应用。,代数,在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数x，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其性质。,
