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1、,第四讲 简单线性规划,高二数学组 宋 帅,一、二元一次不等式表示的平面区域,在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1=0是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-10是 什么图形?,结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0表示的是另一侧的平面区域。,x+y-10,x+y-10,二、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法,x+y-10,x+y-10,由于对在直线ax+by+c=
2、0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0时常把原点作为此特殊点,二元一次不等式表示平面区域的范例,例1 画出不等式2x+y-60表示的平面区域。,注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界,2x+y-6=0,二元一次不等式表示平面区域的范例,例2 画出不等式组 表示的平面区域。,x-y+5=0,x+y=0,x=3,三、简单线性规划,问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最
3、大值与最小值。,线性规划,问题： 设z=2x+y，式中变量满足 下列条件： 求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,线性规划,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),线性规划步骤,第1步：在平面直角坐标系中作出域； 第2步：在可行域内找到最优解所对点； 第3步：解方程的最优解，从而求出目标 函数的
4、最大值或最小值。,线性规划,例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件：,解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.,当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.,线性规划,例2 解下列线性规划问题： 求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：,x+3y=0,300x+900y=0,300x+900y
5、=112500,答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.,当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.,线性规划,例3 解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：,3x+y=0,3x+y=29,答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.,线性规划的实际应用,例 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉
6、不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润 总额最大?,纺纱厂的效益问题,线性规划的实际应用,解线性规划应用问题的一般步骤： 1、理清题意，列出条件； 2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精度计算。,线性规划的实际应用,例 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确
7、到吨)，能使利润总额最大?,线性规划的实际应用,解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则,Z=600x+900y,作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。,解方程组,得点M的坐标,x=350/3,y=200/3,答：应生产甲、乙两种棉纱分别为116吨、67吨，能使利润总额达到最大。,练习：,已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。,解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)b m+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b) -1a+b1，1a-2 b3 -11/3a+3 b1,解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+3 b5/3,想一想,线性规划的应用,已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。,想一想,解法3 约束条件为：,目标函数为：z=a+3b,由图形知：-11/3z1 即 -11/3a+3 b1,
