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1、工 程 电 磁 场,南京航空航天大学 xxx,WSS.XJTU163.COM 13770755953,电场：电荷的周围存在者一种特殊的物质，它对引入其中的电荷有一种力的作用，这种物质称做电场。,静电场：相对于观察者静止的、电荷不随时间的变化而变化。,研究意义：实际许多问题可以归结为静电场问题，如电力设备的绝缘、电容的计算、防雷设计。,基本物理量：电场强度、电位。,1 静电场 (Eletrostatic field),1.1 基本物理量电场强度 、电位 1.2 高斯定理 1.3 基本方程, 分界面边界条件 1.4 边值问题 , 唯一性定理 1.5 镜像法 1.6 电容 1.7 电磁场数值计算引入
2、 1.8 有限差分法(FDM) 1.9 有限元法(FEM) 附录1-4,1 静电场,1.1 电场强度 、电位,1.1.1 库仑(Coulomb)定律,1.1.2 静电场基本物理量电场强度,1.1.3 静电场环路定律,1.1.4 电位(Potential),1.1.5 电力线与等位线（面）,静电现象的基本实验定律。1785年，(法)库仑发现。 定律：两个无限大真空(Free space)中点电荷（Point charge）“同性相排斥，异性相吸”(Like charges repel, unlike charges attract)，作用力的大小与两个点电荷的乘积成正比，与二者之间距离的平方成反
3、比。,1.1.1 库仑定律(Coulombs law),真空介电常数(Permittivity),电场强度 : 单位正电荷在电场中所受到的电场力(F )。,(1) 点电荷产生的电场强度,1.1.2 静电场基本物理量 -电场强度 (Electric Field Intensity),(3) 连续分布电荷产生的电场强度,(2) n个点电荷产生的电场强度,连续分布电荷:以密度的方式讨论电荷分布,体、面、线密度。,面电荷分布,线电荷分布,体电荷分布,真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为,试求P 点的电场。,课堂练习、例题,(直角坐标),1.1.3 静电场环路定律,点电荷电场强度计算：,选择
4、球坐标系：,应用叠加定理，该结论适用于点电荷群和连续分布电荷，与所选择的坐标系无关，即静电荷产生的电场强度旋度恒等于零。,静电场是一个无旋场。,静电场的环路定律,物理意义：电场力作功与路径无关,静电场是保守场。,物理意义：在静电场中，任意一点电场强度E的方向总是沿着电位减小最快方向，其大小等于电位的最大变化率。,(1) 电位引入的目的,1.1.4 电位(Potential),希望计算简单化，且使用标量。,(2) 如何引入？,从静电场的本质入手。,电位,(3) 电位的求解,切入点：,回顾,结论：两点之间的电位差等于高电位点(P2)到低电位点（P1）电场强度的线积分 (注意：与路径无关)。,若选择
5、P1为参考点：,同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。 电荷分布在有限区域时，一般选择无穷远处为参考点。 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。,电位参考点的选择原则,(4) 电位的基本计算公式,点电荷群,连续分布电荷,点电荷：,()=0,参考点：,积分路径：,沿着r方向,(5) 电位的物理意义,qt:试验电荷,结论：电位表示电场力将单位正电荷从该点移至参考点所做的功。,课堂练习与作业,求带电圆盘在轴线上产生的电位与电场强度。,作业：P13,1-1-3,曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致。,等位面：电位相等的点组成曲面，与E线正交。,(
6、1) 电力线,(2) 等位面(线),相邻两等位面之间的电位差应相等，这样才能表示出电场的强弱。等位面愈密处，场强愈大。,1.1.5 电力线与等位线（面）,E线不能相交；E线愈密处，场强愈大；E线起始于正电荷，终止于负电荷。,作业,电偶极子的等位线和电力线,点电荷与接地导体的电场,点电荷与不接地导体的电场,均匀场中放进了导体球的电场,点电荷位于一块导平面上方的电场,1.2.2 静电场中的电介质,1.2.3 真空中的高斯定律,1.2.4 电介质存在时的高斯定律,1.2.1 静电场中的导体,1.2.5 高斯定律的应用,1. 2 高斯定理,1.2.1 静电场中的导体,导体内电场强度E为零； 导体是等位
7、体，导体表面为等位面； 电场强度垂直于导体表面； 电荷分布在导体表面。,其中含有大量的自由电子，在电场作用下，可以自由移动。,静电场中导体的性质 (牢记),电介质：广义指所有电工材料，但一般指绝缘体(Insulated)。,绝缘体：其中的自由电子被束缚(束缚电荷)，电场作用下带电粒作微小移动或转动，但不能离开分子。在电力系统中广泛使用。,均匀(Homogeneous)：媒质特性不随空间位置而变化； 线性(Linear)：媒质的特性不随电场量值而变化； 各向同性(Isotropic)：媒质的特性不随电场的方向而改变。,1.2.2 静电场中的电介质 (Dielectric),电介质类型,我们研究：
8、线性、各向同性、分区域均匀的电介质。,无极性分子,极性分子,电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩。,表示电介质的极化程度,极化强度P ：,电偶极子 (Electric Dipole),电偶极矩 (Dipole moment),实验结果：在各向同性、线性、均匀介质中,极化电荷体密度,极化电荷面密度,二者共同作用在真空中产生的电位:,电介质的极化率,无量纲量。,多个点电荷、分布电荷存在时：,称作E通量,1.2.3 真空中的高斯定律,以点电荷为例：,极化电荷qp:,1.2.4 有电介质存在时的高斯定律,电位移矢量（ Displacement）,高斯通量定理,电介质的极化率,电介质的
9、相对介电常数,电介质的绝对介电常数,1.2.5 高斯定律的应用,1.2.5.1 电介质存在时电场计算公式,结论：对无限大均匀介质和真空比较，E小了 r倍；或真空中所有公式的 0 换为即可。,(1) 选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分;,(2) 在高斯面上D (E) 的数值为常数，可以提在积分号外;,(3) 一般对称面：球面、无限大平面、无限长线、无限长圆柱分布的电场。,1.2.5.2 求解具有对称场的电场强度,1.2.5.3 合适高斯面的选取,(1) 球对称分布：均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,能否选取正方体的表面为高斯面求解球对称场(图c)?,(a),(b),(c),(2) 轴
10、对称分布：无限长均匀带电的直线、圆柱面、圆柱壳等。,(3) 无限大平面。,求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。,电场分布特点： D线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等 r 处D 值相等；,课堂练习、作业,作业： P19:1-2-3; P67:1-3,1-7,高斯通量定理回顾、练习,一无限长圆柱电缆，内外半径分别为R1、R2，其间填充介电常数分别为的电介质，内外电荷线密度分别为+、- .求电介质中的电场强度E； (2) 内外圆柱之间的电位差U； (3) 反过来，经常已知的是其间电位差U，则E？ (4) 如果电介质换为多种，则如何替换才能利用本定理求解？如何求解？ (5) 如果内外圆柱的电荷不相等
11、，如何求解电介质和圆柱外的E？ (6) 如果圆柱换为圆球呢？,核心公式：,应用价值：,求解具有对称场的电场强度,1.3 静电场的基本方程 分界面上的边界条件,1.3.1 静电场的基本方程,1.3.2 分界面上的边界条件,1.3.1 静电场的基本方程,微分：,积分：,表示“点”的关系,表示“区域”的关系,提示：(1)经常采用微分形式判定一个矢量可否表示成E；(2)采用积分形式计算对称形式的电场分布。,1分钟课堂练习,已知某矢量为,能否表示静电场的E？,1.3.2 分界面上的边界条件 (Boundary condition),(1) 电场强度E的衔接条件,分界面上应用环路定律,结论：电介质分界面两
12、侧 E 的切向分量连续。,结论：分界面两侧的 D 的法向分量不连续；当0时，D 的法向分量连续。,分界面上应用高斯定律,作小扁圆柱高斯面,(2) 电位移D的衔接条件,(3) 特例导体和电介质的分界面,结论： 电力线与导体表面垂直。 导体表面电荷密度可通过其电场强度的法向分量获得。,分界面上E线的折射,分界面0时：,折射定律,(4) 静电场的折射定律,作用：可以定性地绘制电介质两边电力线的走向。,结论: 在介质分界面上，电位是连续的，且包含了电场强度切向分量是连续的。,P1与P2之间距离为d0,(5) 用电位表示分界面衔接条件,证明过程,1,2,电位表示的 D2n-D1n=,平行板电容器,已知极
13、间距离、极板面积和介电常数，图(a)已知极间电压U0 ,图(b)已知极板上总电荷q0 ,分别求其中的电场强度。,课堂练习、例题,进阶练习、作业,一无限长圆柱电缆，内外圆柱之间的电位差为U，内外半径分别为R1、R2，其间填充介电常数分别为1、2的电介质，所占圆心角分别为、2-,求该同轴电缆内外圆柱之间的电场强度和电位分布，并讨论结果。,作业： P24: 1-3-3,1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程,1.4.2 静电场的边值问题,1.4.3 静电场的唯一性定理,1.4 静电场边值问题 , 唯一性定理,基本出发点: 静电场的基本方程,选择电位为自由度(未知量)。,Poissons equation
14、,提示：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、均匀媒质。,Laplaces equation,1.4.1 泊松(Poisson)方程与拉普拉斯(Laplace)方程,区域内介质均匀,(1) 微分方程(泛定方程)：,函数值,一阶导数,场域边界条件,分界面衔接条件,(2)确定特解 边界条件,1.4.2 静电场的边值问题 (Electrostatic boundary value problems),确定通解,第一类,第二类,提示：写边值问题，按部就班逐条写即可。,警示： 初始条件？,设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解: 采
15、用球坐标系,分区域建立方程,例题,(2) 唯一性定理的重要意义,可判断静电场问题的解正确性。 为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等） 提供了思路及理论根据。,(1) 证明方法：反证法( a proof by contradiction, 附录1),1.4.3 唯一性定理,在静电场中，满足给定边界条件的Poisson方程的解是唯一的；或者，边值问题一定，解唯一。,课堂练习、作业,利用唯一性定理判定点电荷偏心位于金属球壳内，场分布特点？,Q,作业：P29，1-4-2,球壳外部的电场分布特点,点电荷移球心。 球壳移去。,外部的边值问题,球外电场边值问题,选择：球壳为参考面,选择： 虚拟球壳为参考面,因外部场的边值问题相同，外部的场分布相同； 点电荷偏心地位于球壳内时，求解外部电场时可以将点电荷等效地移至球心处。,球内边值问题的比较,除Q点外：,Q点：,除原点外：,原点：,泛定方程不同（边界条件不需讨论），场分布不同。 分析内部场时，不能将偏心电荷移至球心处。 待分析区域，不能任意添加、减少、移动电荷，否则破坏泛定方程。,球内电场问题思考,如果以电荷所在位置为“原点”，则结果如何呢？,1min课堂练习（2007试题，2分）,令在一空心金属球壳内放入一点电荷Q，则球外一点P的电位是_,A.,r是P点与点电荷所在位置的距离；,r是P点与点电荷所在位置的距离；,
