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1、卷积定理与相关函数,工程数学 第18讲,卷积的概念 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分,称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),卷积的图示,f1(t),f2(t),t,O,f2(-t),O,t,t,O,t,f2(t-t),在积分,中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 则,即卷积满足交换律.,下证卷积满足结合律, 即 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) 为此, 令,则,交换二重积分的次序, 得,令v=t-u, 则u=t-v,例1 证明 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*
2、f3(t) 证 根据卷积的定义,任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为,因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.,在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算. 如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称群. 如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环,
3、简称环. 如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作域了.,例2 若,求f1(t)*f2(t),f1(t),1,O,t,t,O,f2(t-t),1,t,由卷积的定义有,t,O,1-e-t,1,卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w) 则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w) 以及,证 按傅氏变换的定义, 有,相关函数 对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分,称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即,当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分,称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记
4、号R(t)表示, 即,根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(-t)=R(t) 事实上,令t=u+t, 可得,关于互相关函数, 有如下的性质:R21(t)=R12(-t),前面已经证明过,令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 则,假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称 S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则,即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w),例3 求指数衰减函数,的自相关函数和能量谱密度,t,O,f(t),1,t,O,f(t+t),1,t,O,f(t+t),1,-t,-t,当t0时, 积分区间为0,+),当t0时, 积分区间为-t, +),因此, 当t时, 自相关函数可合写为,并求得能量谱密度为,例4 利用傅氏变换的性质, 求d(t-t0),例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t),例6 若F(w)=F f(t), 证明,
