结构力学第三章习题解析

《结构力学第三章习题解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学第三章习题解析（193页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 结构地震反应分析 与抗震计算,3.1 概述 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 3.6 竖向地震作用 3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响 3.8 结构非弹性地震反应分析 3.9 结构抗震验算,3.1 概述,由地震动引起的结构内力、变形、 位移及结构运动速度与加速度等,一、结构地震反应,：由地震动引起的结构位移,地面运动,结构动力特性：自振周期，振型和阻尼,1.结构地震反应,2.结构地震位移反应,：,结构地震反应影响因素,结构的地震作用效

2、应就是指在地震作用下在结构中产生的弯矩、剪力、轴向力 和位移等。,3.1 概述,：能引起结构内力、变形等反应的各种因素,二、地震作用,作用分类,各种荷载：如重力、风载、土压力等,各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等,等效地震荷载,：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用,作用,直接作用,间接作用,结构的地震作用:地震时，由于地面运动使原来处于静止的结构受到动力作 用，产生受迫振动，由于地面的强迫振动在结构上产生的惯性力,地震作用的确定：反应谱理论和动力理论,反应谱理论：将多个实测的地面振动波分别代入单自由度反应方程，计算出 各自最大弹性地震反应（加速度、速度、位移），从而得出结构最大

3、地震 反应与该结构自振周期的关系曲线，这个曲线就是反应谱，在工程中应用 比较广泛的是加速度反应谱。由于反应谱可计算出最大地震作用，然后按 静分析法计算地震反，所以仍属于静力法。但由于反应批理论较真实地考 虑了结构振动特点，计算简单实用，因此目前是各国建筑抗震规范中给出 的一种主要抗震分析方法。,动力理论是直接通过动力方程采取逐步积分法求解出地震反应与时间的关 系曲线，这条曲线成为时程曲线，因此该方法又称为时程分析法。时程分 析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可处理强震下 结构的弹塑性变形，因此已成为抗震分析的一种重要方法，但由于时程法 只能使用特定的地震波，而且计算分析量大，

4、因此目前我国规范仍主要采 用反应谱法进行抗震分析。,随着计算机技术和有限元理论的发展，利用大型有限元软件如Ansys, MSC.Marc等对结构进行地震发应分析和有限元仿真分析已开始等到广 泛的应用。,3.1 概述,1. 连续化描述（分布质量）,三、结构动力计算简图及体系自由度,描述结构质量的两种方法,采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：,2. 集中化描述（集中质量）,工程上常用,定出结构质量集中位置（质心）,将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去,集中化描述举例,a、水塔建筑,主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分,水箱全部质量 部分塔柱质量,集中到水箱质

5、心,单质点体系,b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）,主要质量：屋面部分,厂房各跨质量,集中到各跨屋盖标高处,集中化描述举例,c、多、高层建筑,主要质量：楼盖部分,多质点体系,d、烟囱,结构无主要质量部分,结构分成若干区域,集中到各区域质心,多质点体系,3.2 单自由度弹性体系的地震反应,一、运动方程,地面水平运动的位移,质点相对地面的水平位移,质点的绝对位移,相应的绝对加速度,惯性力I为质点的质量m与绝对加速度的乘积,弹性恢复力S是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力，它的大小与质点 离开平衡位置的位移成正比,阻尼力D是一种使结构振动不断衰减的力，即结构在振动过程中，由于材料的内 摩擦、构件连

6、接处的摩擦、地基土的内摩擦以及周围介质对振动的阻力等，使得 结构的振动能量受到损耗而导致其振幅逐渐衰减的一种力。阻尼力有集中不同的 理论，目前应用最广泛的是所谓的粘滞阻溺理论，它假定阻尼力的大小与质点的 速度成正比,根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任意瞬时，作用在物体上的外力与惯性力互相 平衡,力的平衡条件：,令,二、运动方程的解,1.方程的齐次解自由振动,齐次方程：,自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动,为共轭复数,，,（2）若,方程的解：,特征方程,特征根,（4）若 ， 、 为负实数,（3）若,，,、,物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置， 完全不可能再作往复振动过阻尼状态,

7、物体从开始的最大位移处快速逼近平衡位置 临界阻尼状态,体系产生振动 欠阻尼状态,其中,图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动,当,临界阻尼系数：,临界阻尼比（简称阻尼比）,（1）若,体系产生振动 无阻尼状态,任何一个振动系统，当阻尼增加到一定程度时，物体的运动是 非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢地回到平 衡位置就停止了。当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又 能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼”，或中肯阻 尼状态。如果阻尼再增大，系统则需要很长时间才能达到平衡 位置，这样的运动叫过阻尼状态，系统如果所受的阻尼力较小 ，则要振动很多次，而振幅则在逐渐减小，最后才能达到平衡 位

8、置，这叫做“欠阻尼”状态。,所谓“欠”阻尼，说明阻尼不够大，因此这个阻尼并不足以阻止振动越过平 衡位置。此时系统将做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动。系统的运动被不断 阻碍，所以振幅减衰，并且振动周期也是越来越长。经过较长时间后，振动 停止。此时的振动方程是正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。,欠阻尼,图所,所谓“过”阻尼，说明阻尼太大，振动根本无法越过平衡位置，只能以非周期运动形式缓慢地向平衡位置移动。为什么又要“缓慢地”？是因为阻尼过大，所以这阻碍了振动向平衡位置的移动，导致这种阻尼振动的停止也很缓慢。此时已经没有振幅、周期一说了。这种振动的方程是双曲正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图

9、所示。,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼、过阻尼使振动回到平衡位置所需时间都较长，那怎样使所需时间最短呢？当阻尼取一个特定的值的时候，振动会很快地靠近平衡位置，但又不越过平衡位置。这种振动的振动曲线似乎和过阻尼很像，但它们的振动方程完全不一样。过阻尼的振动方程是双曲正弦函数、指数函数的积，而临界阻尼的振动方程是正比例函数、指数函数的积。三种阻尼振动中，以临界阻尼回到平衡位置所需时间最短。其阻尼大小小于过阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各种需要尽快停止振动的地方，都尽力地调节其振动的频率、阻尼大小，使其达到临界阻尼状态，最大程度地消除振动的影响。,初始条件:, 初始速度,则,体系自由振动位移时程,初始位移,

10、当 （无阻尼）,固有频率，体系的圆频率，质点在2时间内的振动次数,固有周期,无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动,自振的振幅将不断衰减，直至消失,有阻尼体系,无阻尼体系自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰 减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减 就越快。,严格地说，有阻尼单自由度体系的自由振动不具有周期性，因为体系在自由振动过程 中其振幅不断衰减。但由于体系的运动是往复的，指点每振动一个循环所需要的时间 间隔是相等的，因此就把这个时间间隔称为有阻尼体系的周期,有阻尼时的自振频率小于无阻尼时的自振频率，这说明由于阻尼的存在，将使结构

11、的自振频率减小，周期增大。,在实际结构中，阻尼比的数值一般都很小，其值大约 在之间。因此有 阻尼频率与无阻尼频率相差不大，在实际计算中可以近似地取,例题3-1,已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。,，,求该结构的自振周期。,解：直接由式,并采用国际单位可得:,3.方程的特解II瞬时冲量,冲量等于动量的增量,自由振动,求解方法：,将地面运动分解为很多个脉冲运动,时刻的地面运动脉冲,4.方程的特解III 一般强迫振动,引起的体系反应为：,叠加：体系在t时刻的地震反应为：,方程通解（单自由度体系）：,体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）,初位移、初速度引起 迅速衰减，

12、可不考虑,地面运动引起,地面运动脉冲引起的单自由度体系反应,杜哈密积分,在实际计算中可以近似地取,通解,3.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱,反应谱是指单自由度体系最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，根据反应量的 不同，又分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。由于结构所有的地震作用 （即质点上的惯性力）与质点运动的加速度直接相关，因此工程抗震领域，常采用 加速度反应谱计算结构的地震作用。,一、水平地震作用的定义,地震作用就是地震时结构上受到的惯性力,在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此 可以认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是

13、真实作用于 质点上的力，但惯性力对结构的作用和地震对结构的作用效果相当，所以可以认为 是一种反映地震影响效果的等效力，利用它的最大值来对结构进行抗震验算，就可 以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。,上式等号右边的阻尼项 相对于弹性恢复力 来说是非常的小，可以忽略,质点的绝对加速度,由于地面运动的加速度是随时间而变化的，故为了求得结构在地震持续过程中所经受 的最大地震作用，以便用一进行抗震设计，必须计算出质点的最大绝对加速度，即,由上式可知，质点的绝对最大加速度取决于地震时的地面运动加速度，结构的自振 频率或自振周期以及结构的阻尼比。然而，由于地面水平运动的加速

14、度极不规则， 无法用简单的解析式来计算，故在计算 时，一般采用数值积分法。,二、地震反应谱,根据上式，若给定地震时地面运动的加速度读记录和体系的阻尼比 ，则可以 计算出质点的最大加速度反应与自振周期的关系曲线，对于不同的阻尼比可以得到 不同的 曲线。图3-6是根据1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震时地面加速 度记录绘制的加速度反应谱曲线。 （TAFT波和天津宁河地震波 ）,图3-6 1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线,由图埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线可知加速度反应谱曲线有下 列特点：加速度反应谱曲线为一多峰点曲线；当阻尼比等于

15、零时，加速度反 应谱的谱值最大，峰点越突出，即便是不大的阻尼比也能使峰点下降很多，并且 谱值随阻尼比的增大而减小；当结构的周期较小时，随着周期的增大其谱值急 剧增大，但至峰点后，则随着周期的增大其反应逐渐减小，而且逐渐平缓。,根据反应谱曲线，对于任何一个自由度弹性体系，如果已知其自振周期和结构的 阻尼比就可以从曲线中查得该体系在特定地震记录下的最大加速度Sa。Sa与质 点质量的乘积即为水平地震作用下的绝对最大值，即,三、标准反应谱,为了便于应用，在上式中引入能反应地面运动强弱的地面运动最大加速度，并将其改写为下列形式,（1）地震系数,可知地震系数k为,它表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比。一般地，地面运动加速度越大， 则地震烈度越大，所以地震系数与地震烈度之间存在着意定的对应关系。如表3-1 所示。需要注意的是，地震烈度的大小取决于地面运动最大加速度，而且还与地震 的持续时间和地震波的频谱特性等有关。,表3-1地震系数k与地震烈度的关系,（2）动力系数同样，由（3-31）可知动力系数为,它是单质点最大绝对加速与地面加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝 对加速度比地面最大加速度放大多少倍。因为当 增大或减小时， 相应随 之增大或减小，因此值 与地震烈度无关，这就可以利用所有不同烈度的地震记录 进行统计和计算。,