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1、相互独立的随机变量,定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的实数 x,y均有,成立，则称随机变量X与Y相互独立。,或用分布函数表示,随机事件之间具有相互独立性，它们发生与否互不影响，我们可以将独立概念推广到随机变量。,但要求对任何的x,y随机事件Xx与Yy相互独立时 才称随机变量X、Y相互独立。,若X，Y是离散型随机变量，则X与Y 相互独立的充分必要条件是：对X，Y的任何取值成立：,例1：若X，Y有如下联合分布，则X，Y相互独立吗？,离散型随机变量独立的条件,例2：若X、Y有如下联合分布，则X,Y相互独立吗？,离散型随机变量独立的条件,若X，Y是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充分必要条件
2、是下式几乎处处成立：,连续型随机变量独立的条件,例3：若X，Y有如下联合概率密度函数，则X、Y相互独立吗？P78eg2,同理可得：,解 先求边缘分布律,可用 独立性来确定常数即：,例3 设二维随机变量(X，Y)在区域G上服从均匀分布，,试求U、V的联合分布律，并判断U、V是否相互独立。,解：先写出联合概率密度函数：,于是得 U、V 的联合分布律和边缘分布律：,例5 若二维随机变量(X，Y)服从正态分布， 试证X、Y 相互独立的充分必要条件是=0。 。,证:,边缘分布密度为：,例7：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 甲12:15到12:45之间随机到达. 乙在12:00到13:00之间随
3、机到达. 试求先到的人等待的时间不超过5分钟的概率. 并求甲先到的概率是多少？,解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意得：,由独立性,所求的概率为：,多维随机变量及独立性,二维随机变量的有关概念可以扩展到更高维随机变量。,n维随机变量的分布函数：,n维连续型随机变量的分布函数与概率密度函数：,n维连续型随机变量的边缘分布：,多维随机变量及独立性,n维随机变量X1,X2,Xn的独立性：,n维连续型随机变量X1,X2,Xn与另一个m维随机变量Y1,Y2,Ym的独立性：,关于多维随机变量独立性的定理,设n维连续型随机变量X1,X2,Xn与另一个m维随机变量Y1,Y2,Ym是相互独立性的，则,（1）任何一个Xi与另一个Yj是相互独立性的;,（2）任何两个Xj，Xj与另两个Yk,Yl是相互独立性的;,（3）若h,g是两个n元与m元连续函数，则h(X1,X2,Xn)与g(Y1,Y2,Ym)是相互独立性的;,这些结论在数理统计中经常用到。,
