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1、1.8 推理理论,1-8. 推理理论,推理就是根据一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程，即令H1，H2，Hn是已知的命题公式(前提)，若有 H1H2Hn C 则称C是H1，H2，Hn的有效结论，简称结论。,如何根据前提得到结论，需要有推理的规则。下面先介绍两个推理规则。 规则P(引入前提规则)：在推理过程中，可以随时引入前提。 规则T(引入结论规则)：在推理过程中，如果前边有一个或几个公式永真蕴涵公式S，则可将S纳入推理过程中。 在推理过程中，还要应用教材43页表1-8.3中的永真蕴
2、涵式I1-I16和表1-8.4中等价公式E1-E22 (常用的公式要熟记) 下面主要介绍三种推理方法：直接推理、条件论证及反证法,重要的蕴涵式(如教材第43页所示),I1.PQP I2. PQQI3. PPQ I4. QPQI5. PPQ I6. QPQI7. (PQ)P I8. (PQ)QI9. P,Q PQ I10. P(PQ)QI11. P(PQ)Q I12. Q(PQ)PI13. (PQ)(QR)PRI14. (PQ)(PR)(QR)RI15. AB (AC)(BC)I16. AB (AC)(BC),一.直接推理 直接推理，就是从前提直接推出结论。 上面讲到推理的过程实际上是证明永真蕴
3、含式的过程。只不过证明的过程采用另外一种书写格式。 格式中包含：步骤号，给定前提或得出的结论，推理时所用规则，此结论是从哪几步得到的以及所用公式。下面请看一些例子。,例题求证 PQ，QR，P R 证明序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式(1) P P(2) PQ P (3) Q T (1)(2) I11 (4) QR P (5) R T (3)(4) I11（注公式I11为： P,PQ Q ）,例题求证(PQ)(QR)R P (1) QR P (2) R P (3) Q T (1)(2) I10 (4) (PQ) P (5) PQ T (4) E8 (6) P T (3)(5)
4、I10注公式I10为： P, PQ Q 公式E8为： (PQ)PQ,例题用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不及格。因此，我热衷于玩朴克。 解设 P：我学习。Q：我数学及格。R：我热衷于玩朴克。于是符号化为：PQ，RP，Q R,PQ，RP，Q R(1) PQ P (2) Q P (3) P T (1)(2) I12 (4) RP P (5) R T (3)(4) I12 (6) R T (5) E1注：公式I12为： Q，PQ P公式E1 为： RR,例题求证P(QS),RP,Q RS证明(1) P(QS)
5、P(2) P(QS) T (1) E16(3) P(SQ) T (2) E3(4) (PS)Q T (3) E5 (5) Q P (6) PS T (4)(5) I10(7) PS T (6) E16(8) RP P(9) RP T (8) E16(10) RS T (7)(9) I13,二.条件论证定理1-7.1 如果H1H2.HnR，则 H1H2.Hn RS 证明 因为H1H2.Hn 则 (H1H2.HnR)S 是永真式。 根据结合律得 (H1H2.Hn)R)S 是永真式。 根据公式E19得(H1H2.Hn)(RS)是永真式。 即 H1H2.Hn RS 定理得证。E19: P(QR)(PQ
6、)R,此定理告诉我们，如果要证明的结论是蕴涵式(RS)形式，则可以把结论中蕴涵式的前件R作为附加前提，与给定的前提一起推出后件S即可。 我们把上述定理写成如下规则：规则CP( Conditional roof)：如果H1H2.HnR S，则 H1H2.Hn RS 下面我们用条件论证方法求证例题 P(QS),RP,Q RS,例题 用条件论证，证明例题P(QS),RP,Q RS 证明 (1) R P(附加前提)(2) RP P(3) P T (1)(2) I10(4) P(QS) P(5) QS T (3)(4) I11(6) Q P(7) S T (5)(6) I11(8) RS CP 与例题相
7、比，因为它增加了一个附加前提，所以推理就容易些。,例题 用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性： 如果体育馆有球赛，青年大街交通就拥挤。在这种情况下，如果小王不提前出发，就会迟到。因此，小王没有提前出发也未迟到，则体育馆没有球赛。 证明 先将命题符号化。设 P：体育馆有球赛。Q：青年大街交通拥挤。R：小王提前出发。S：小王迟到。PQ，(QR)S (RS)P,PQ，(QR)S (RS)P证明 (1) RS P(附加前提) (2) R T (1) I1 (3) S T (1) I2 (4) (QR)S P (5) (Q) T(3)(4) I12 (6) QR T (5) E8 (7) Q T (2
8、)(6) I10 (8) PQ P (9) P T (7)(8) I12 (10)(RS)P CP,三.反证法,反证法的主要思想是：假设结论不成立，可以推出矛盾的结论(矛盾式)。下面先介绍有关概念和定理。 定义：设H1，H2，.，Hn是命题公式，P1，P2，.，Pm是公式中的命题变元，如果对所有命题变元至少有一种指派，使得H1H2.Hn 的真值为T，则称公式集合H1,H2,Hn是相容的(也称是一致的)；如果对所有命题变元每一种指派，都使得H1H2.Hn的真值为F，则称公式集合H1,H2,Hn是不相容的(也称是不一致的)。,定理1-7.2 若要证明相容的公式集合H1,H2,. Hn可以推出公式C
9、，只要证明H1H2.HnC是个矛盾式即可。 证明 设H1H2.HnC 是矛盾式，则(H1H2.HnC)是个永真式。 上式 (H1H2.Hn)C(H1H2.Hn)C所以 H1H2.Hn C 实际上，要证明H1H2.Hn C，只要证明 H1H2.HnC可推出矛盾式即可，即H1H2.HnC RR,例 PQ,(QR)R, (PS)S (1) S P(假设前提) (2) S T (1) E1 (3) (PS) P (4) PS T (3) E8 (5) P T (2)(4) I10 (6) PQ P (7) Q T (5)(6) I11 (8) (QR)R P (9) QR T (8) I1 (10)
10、R T (8) I2 (11) R T (7)(9) I10 (12) RR T (10)(11) I9,本节要掌握三种推理方法，按照所要求格式正确地书写推理过程。 作业 第47页：(1) b) , (2) b) , e)(3) b) , e)(4) a) , c)(5) c),第一章 小结,知识网络：,命 题,原子命题,复合命题,联结词,命题公式,永真式,永真蕴涵式,等价公式,范式,命题逻辑推理,直接推理,间接推理,条件论证,反证法,析取,合取,主析取,主合取,本章的重点内容、及要求： .逻辑联结词，要熟练掌握联结词的真值表定义以及它们在自然语言中的含义。其中特别要注意“”和“”的用法。 .会命题符号化。 .掌握永真式的证明方法：(1).真值表。(2).等价变换，化简成。(3).主析取范式。 .掌握永真蕴含式的证明方法，熟练记忆并会应用43页中表1-8.3中的永真蕴含式。 .掌握等价公式的证明方法，熟练记忆并会应用43页表1-8.4中的等价公式。 .熟练掌握范式的写法及其应用。 .熟练掌握三种推理方法。,
