课件：概率论部分

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1、概 率 论 与 数 理 统 计,课程,2,CH1 随机事件与概率,1.1 随机试验1.1.1 研究对象的分类确定性问题 : 在一定的条件下，必然会发生的问题。比如：弹簧受到外力作用会发生形变，水从高处往低处流，同性电相斥、异性电相吸等。（高等数学、线性代数等课程研究的对象）,3,不确定问题:研究对象的某种现象在出现之前我 们不知道它是否会发生。 例如：抛一枚硬币出现正面或背面现象口袋里有红、黄、蓝三色球若干，随便取一球是红球这一现象，向某一目标打一发炮弹，是否击中目标等。 （我们这个课程研究的对象）,4,1.1.2 随机试验,试验：指对研究对象的观测，一次观测称为 一次试验。,随机试验：指对随

2、机现象的观测，一次 观测称为一次随机试验。比如：抛一次 硬币或一次抛多枚硬币，观测出现正面 的个数等。,5,（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知 道。必然性（统计规律性）,随机试验必需满足：,（1）在相同条件下，试验可以重复进行。可重复性,（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不 能预先知道发生哪种结果。偶然性,随机试验一般用字母E表示。,6,例1 一些随机试验的例子,口袋里分别有红、黄、蓝球3个， 每次从口袋中取2个球（有放回）。 连续向一个目标发射10法炮弹。 连续观察一周每天的下雨情况。 买彩票中奖，如此等等。,类似例子很多， 自己试着举一些,7,1.2 随机事件与样本空间,基本事件

3、 指随机试验中，其每一个可能出现的结果。,样本空间 指基本事件的全体组成的集合基本事件称为样本空间的点。,1.2.1 基本事件与样本空间,8,例2,投掷一枚骰子一次，有6个基本事件，即点数：1 2 3 4 5 6。该随机试验的样本空间为：,9,1.2 .2 随机事件,随机事件： 某些基本事件组成的集合。又称为复合事件。比如，例2中的点数不超过3点的集合。,10,几个特殊的随机事件,必然事件：每次试验中必然发生的事件，记为。比如：例2中的点数小于等于6的集合。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，记为。比如：例2中的点数大于6的集合。,11,1.2.3事件之间的关系及其运算,必然事件包含了样本

4、空间的所有点，不可能不包含样本空间的任何点。一般的事件存在着一些联系。 事件的包含关系,A,B,定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称 事件B包含事件A。记为：B A或A B。 比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小于5点事件。）,12,事件相等,若事件 且 ，则称 事件A和事件B相等。 记为AB 。即：事件A与B所包 含的基本事件是一样的。,13,定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样 的事件为并事件，记为：A B。,结论： ； 。,事件的并（或称和）,注：包括事件A与B 同时发生,A,B,14,例3,A=1，2，7，8，a,b,c,B=1,5,8，b,e 则AUB=1，2，5，7，

5、8，a,b,c,e,15,定义：在试验中，事件A与事件B同时发生 的事件称为事件A与事件B的交（或积）， 记为AB（或AB）。,事件的交（积）,在例3中， AB=1，8，b,结论： ； 。 参考上图解释,16,逆事件 发生的属于样本空间，但不属于A的事件，称为A的逆事件，记为,。,A,在例2中，如果A=1，3，5，则,17,事件的差 ：在试验中，事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差。记为AB。,结论： 。,A,B,AB,在例3中，A-B=2,7,a,c,18,定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时 发生，则称事件A、B为互不相容，记为： AB 。否则称两事件相容。,结论：从基

6、本事件说，互不相容事件没有公 有的基本事件。显然，在一次试验中，两个 基本事件不能同时发生，所以任何两个基本 事件都是互不相容事件。,事件的相容性,19,交换律：ABBA，ABBA 结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)分配律：(AB)C(AC)(BC) ，(AB)C(AC)(BC),事件的运算律,德摩根公式：,20,例4、在一个口袋里装有红、黄、白三种球， 每种球都不止一个，一次任取两个球，观察 它们的颜色。设A两个同色球，B至少 一个红色球，问AB由哪些基本事件组成？,解 用R表示红球，Y表示黄秋，W 表示白球则 ：A=RR，YY，WW，B=RR，RY，RWAB=RR，RY，R

7、W，YY，WW ,21,思考：设A、B、C为三个事件，试将下 列事件用A、B、C表示出来。 （1）三个事件都发生； （2）三个事件都不发生； （3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生； （6）三个事件中至少有两个发生 （7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。,22,（2）若AB，则 ；,（3） ；,（4）若 ，则 ；,（5） ；,（6）若 ，则 ；,对,对,对,解决这类问题，最好的方法是用图示法！,23,（1）所有基本事件，构成一个互不相容的事 件组。 （2）所有基本事件的并是必然事件。,基本事件的重要性质：,注意,24,1.3

8、随机事件的概率,1.2.1事件的频率,频率：如果在n次重复随机试验中，事件A发 生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生 的频率，其中 。,对任意随机试验E，频率具有性质：,25,26,1.3.1 概率的定义,（1）概率的统计定义,定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验 中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的 常数 p 附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末 数 p 就表示事件A发生的可能性大小，并称 它为事件A的概率，记作 。,27,（2）概率的公理化定义,定义2：设E是随机试验，是E的样本空间， 对于E的每一个事件A赋予一个实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下列条件：

9、,28,（3）可列可加性：设事件 互不相容，则有：,这3条也是概率的三个基本性质，此外概率 还有一些其他性质：,29,30,概率的加法公式可推广到有限个事件的并的 情形。如：,1.已知 ，则 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。,例6,31,2、设 ，且，则 （ ）。,3、设A、B、C 为随机事件，且 ， ， 0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是 。,32,特殊概型 等可能概型,等可能概型（古典概型）：如果一个随机试 验E具有如下的特征，则称为等可能概型。,（1）基本事件的全集是由有限个基本事件 组成的；,（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可 能性是相同的。,3

10、3,定义：在古典概型中，若样本空间包含的基 本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事 件个数为m，则事件A的概率为,古典概型中概率的计算,一般方法：通过计算基本事件个数，计算概率。,34,例7、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数 字中，随机地取出3个数字，组成一个三位数， 求这个三位数为奇数的概率。,例8、连续三次抛一枚硬币，求恰好出现一次 正面的概率和恰好出现二次正面的概率。,对于初学者，可以用描述方法，求解类似问题。,35,例9、袋中有16个白球，4个红球，从中取出3 个，求至少有一个是红球的概率。,另解：对A的逆事件 有,注意有放回取球与无放回取球的区别。,36,例10、 盒中有

11、a个黑球，b个白球，从中有放 回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑 球”的概率。,解：,例11、 12名运动员中有4名种子选手，现将运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1）各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组的概率。,（N个球中有k个黑球）,37,例10、一盒中含有N1个黑球，一个白球，每 次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球， 这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球” 的概率。,借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。,38,解：显然，这是一个古典概型的问题，样本 空间的大小为 ；而要求概率的事件A所包 含的基本事件个数就不容易计算了，但可考 虑其逆事件,39,例11、

12、盒中有a个黑球，b个白球，把球随机 地一只只取出（不放回），求事件A：“第k （1 k ab）次取到黑球”的概率。,解：,另解：,有放回是有序行为，无放回是无序行为,表 明 前 k-1 次 是 从 a+b-1 个 球 中 取 出 的,40,1.4 条件概率,1.4.1条件概率,在实际问题中，除了要知道事件A的概率 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者 称为条件概率。,1-4,41,条件概率定义,定义：若A、B为同一随机试验的两个事件，且 ，则 称在B发生条件下A发生的概率为事件A关于B的条件概率，记 。,

13、42,注意：条件概率也是概率。所以，它满足概率 的一切性质 。,如：,但 未必成立。,条件概率计算,A,AB,B,43,例12、设10件产品中有2件次品，8件正品。现 每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求 下列事件的概率。 （1）前两次均取到正品 （2）第二次取到次品 （3）已知第一次取到次品，则第二次也取到 次品,44,解：,，,这显然是抽签的公平性，,（考虑样本空间的改变）,或者：,45,问题（3）也可考虑：,设A1：“第一次取到次品”A2：“第一次取到次品”,46,2. 概率的乘法定理,定理：两事件的积事件的概率等于其中一事件 的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概 率的乘积。即：

14、,P(AB)=P(B)P(AB)P(A)P(BA),47,例13：某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而随意拨号，求 （1）拨号不超过3次而接通电话的概率。 （2）若已知电话号码的最后一个数字是奇数， 求拨号不超过3 次而接通电话的概率。,解：设A拨号不超过3次而接通电话， Ai第i次拨号时接通电话，i1,2,3。则：,48,且 是两两互不相容的。,（1）P(A)1/109/101/99/108/91/83/10 （2）P(A)1/54/51/44/53/41/33/5 。,49,3. 全概率公式、贝叶斯公式,50,设为随机试验E的样本空间， 为样本空间的一个划分。则：,2、全概率公式,51,例14、设有编号1，2，3的3个盒子，分别有4，5，6个黑球，5，4，3 个白球，今任取一个盒子，再从盒子中任取一球（每一盒，每一球均等可能被取到），求事件A：“取出的球是白球”的概率。,解： 设事件： “此球属于第i个盒子”。 则由全概率公式得：,