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1、1.利用画线法计算下列行列式：,解 D=64,第一章习题A（22页）,解 D=4584961057248,=2,0,解 D=a3b3c3abcabcabc,解 D=60+0000,=a3b3c33abc,=6,2. 计算下列排列的逆序数:,解 (1) (35214)=0+0+2+3+1=6,(1) 35214; (2)12 3 (n1)n；(3)n(n1)321;,(4) 1 3 5 (2n1)246 (2n),(2) 12 3 (n1)n=0,(3) n(n1)321=0+1+2+(n1)=n(n1)/2,(4) 1 3 5 (2n1)246 (2n),=0+0+0+0+(n1)+(n2)+
2、1+0,=n(n1)/2,3. 在所有n级排列中，试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一？又逆序数介于它们之间的排列是否唯一？,(1)125i86j94为奇排列；(2)61357ij48为偶排列。,解 123n逆序数最小， (12 3 n)=0, 是唯一的。,4. 选择i，j使,解 (1) (125786394)11，故i7，j3。,n321逆序数最大，(n321)=n(n1)/2，也唯一。,逆序数介于它们之间的排列不唯一，如： (2134n)=(1324n)= 2,(2) (613572948)12，故i2，j9。,5. 在四阶行列式D=|aij|4的展开式中，(1)确定含有因子
3、a14a33的项；(2)确定带负号并含有因子a21的项。,解 因为通项为,所以(1)含有因子a14a33的项为a14a21a33a42和a14a22a33a41。,6. 证明: 若一个n阶行列式中等于零的元素个数大于n2n,则此行列式值为零。,证明 因为n阶行列式通项为,(2)带负号并含有因子a21的项为:,a12a21a33a44 和a13a21a34a42 和a14a21a32a43,而n阶行列式共有n2个元素，所以最多有n1个元素非零，所以行列式的值为零。,7. 用行列式定义计算下列n阶行列式,解,解,8. 计算下列行列式,解,解,解,解,9. 证明下列等式：,证明,证明,10. 按第三
4、行展开行列式, 并计算其值,解,11. 计算下列行列式,解 按第一列展开, 有,解 后行减去前行可得,解 n=1时,原式=|1|=1,n=2时,n3时, 让各列都减去第三列, 则有,=6(n3)!,解 按第一列展开, 有,12 证明,证明 按第一列展开, 有,证明,即有,而D1=1+an, 带入可得,13 解下列方程式,解 将行列式按第一行展开可见, 此方程式是关于x的n-1次多项式方程. 所以方程应该有n-1个解.,而由行列式性质可见, 当x=ai时, 行列式等于零. 所以 x=ai (i=1,2,n-1)是方程的n-1个解.,所以 方程共有n-1个解, 分别为a1,a2,an-1.,解 将
5、行列式2n列都减去第1列可得,即: -x(1-x)(2-x)(n-2-x)=0,所以 方程共有n-1个解, 分别为0, 1, 2, n-2.,14 利用Laplace展开定理计算,解 将行列式按第一, 三行展开得,=1(-1)(-2)=2,解 将行列式按第一, 二行展开得,=112=2,15. 解下列方程组,解 因为,可得:,所以,方程组的解为:,解 因为,所以, 方程组的解为: x1=1, x2=-1, x3=0, x4=2.,1. 设j1, j2, , jn-1, jn为一个n级排列, 求,解 由于对排列j1, j2, , jn-1, jn和jn, jn-1, , j2, j1进行相应两个
6、元素的相邻对换, 其逆序数一个增加1, 一个减少1.,第一章习题B（25页）,于是有,(j1, j2, , jn-1, jn)+ (jn, jn-1, , j2, j1),(j1, j2, , jn-1, jn)+ (jn, jn-1, , j2, j1),=(1,2,n-1,n)+ (n,n-1,2,1),=0+ n(n-1)/2,=n(n-1)/2,2 设n阶行列式D=|aij|n, 求,解,3 证明,解,左=,1. 设,(1)求3A4B; (2)求AC, BD; (3)求AT, ATB, DTD, DDT.,第二章习题A（48页）,解,2. 求与 乘法可交换的所有矩阵,解 令 , 则得,
7、可见, 只要z=0, x=w. 即 , x, y为任意数.,3. 设A= , 求An.,解 由于,4. 设,解,求: (1)A2-B2; (2)(A-B)(A+B); (3)AB-BA.,证明: (1) (A+B)2=(A+B)(A+B),=A2+AB+BA+B2,= A2+2AB+B2,(2) (AB)(A+B)=A2+ABBAB2=A2B2,(A+B)(AB)=A2AB+BAB2=A2B2,解,=-4A,所以 A6=(-4A)3=-64A3=256A2=-1024A,解,所以,7. 求下列矩阵的逆矩阵,A11=1, A12=0, A13=0,A21=-2, A22=1, A23=0,A31
8、=7, A32=-2, A33=1,所以,解,解,解,所以,(A+2E)-1(A-2E),所以,所以 A6=(-E)(-E)=E , A12=E,9. 设 , 求A6及A11.,解 由于,A11=A-1=,10. 解矩阵方程,解,解 由AB=A+B可得, B=(A-E)-1A,所以 , B=(A-E)-1A=,解 由AP=PB可得, A=PBP-1 , 且A5=PB5P-1 .,所以,13. , 求(P-1AP)n, An (n为正整数).,解 (P-1 AP)n=P-1AnP .,所以,14. 设44矩阵A=(, 2, 3, 4 ), B=(, 2, 3, 4 ), 其中, , 2, 3,
9、4 均为41矩阵, 已知|A|=4, |B|=1, 求|A+B|.,证明: |A+B|=|+, 22, 23, 24 |,=32+8=40,设n阶方阵A, |A|=a0, 求|A*|.,解 由于A*=|A|A-1=aA-1, 所以,=8|+, 2, 3, 4 |,=8|, 2, 3, 4 |+8|, 2, 3, 4 |,|A*|=|aA-1|=an|A-1|=an-1,17. 设实方阵A0, 且A*=AT, 证明|A|0.,证明 由于AAT=AA*=|A|E, 记A=(aij)n, 若|A|=0, 则,证明 由于(E-A)(E+A+A2+Ak-1),AAT=0 , 即 ai12+ai22+ai
10、n2=0, i=1,2,n,所以|A|0.,=E-Ak=E,由于A是实矩阵, 所以有aij=0, i,j=1,2,n, 即A=0,矛盾.,18. 设A为n阶方阵, 若Ak=0, 其中k为正整数, 证明,(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1,=(E+A+A2+Ak-1)-(A+A2+Ak-1 +Ak),所以 (E-A)-1=E+A+A2+Ak-1,19. 若A, B为n阶方阵, 且E+AB可逆, 试证,证明,(E+BA)E-B(E+AB)-1A,(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A,所以,=E-B(E+AB)-1A+BA-BAB(E+AB)-1A,=E-B(E+AB)-1-E+AB(E+
11、AB)-1A,=E-B(E+AB)(E+AB)-1-EA,=E-BE-EA,=E,(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A,解,所以,解,4. 证明: (1)两个上三角矩阵的乘积还是上三角的;,证明 设A=(aij), B=(bij)是上三角矩阵. (1) AB=(cij).,第二章习题B（50页）,则 aij=bij=0, nij1. 于是, ij时有,(2)可逆上三角矩阵的逆矩阵还是上三角的.,cij=ai1b1j+ai2b2j+aijbjj+ai(j+1)b(j+1)j+ + ainbnj=0,(2) A的代数余子式Aij, 则可得Aij=0, (ji时),即矩阵AB是上三角矩阵.,于
12、是A*是上三角矩阵, 所以A-1是上三角矩阵.,证明 (1) 由于,于是有,但,所以有,(2) 由于,于是有,所以有: m|En-AB|=|Em-BA|n,即: |En-AB|= n-m|Em-BA|,证明 由于,于是有,所以,又由于,所以,第三章习题A（63页）,解 31+523=(1, 4, 25, 7),2. 从以下方程中求向量,其中1T=(2,5,1,3), 2T=(10,1,5,10), 3T=(4,1,1, 1).,3(1)+2(2+)=5(3+),证明 由已知有：31+22536,所以， 1/6(31+2253),1/6(6, 12, 18, 24)=(1, 2, 3, 4),3
13、. 证明: 向量组1,2,s中的任一向量i可由这个向量组线性表示.,证明 因为i=01+02+1i +0s,即i可由这个向量组线性表示.,4. 证明: 包含零向量的向量组线性相关.,5. 设有m个向量1,2,m. 证明: 若i=j(ij), 则向量组1,2,m线性相关.,而1,0,0不全为零，所以0, 1, 2,s线性相关.,证明 因为10+01+02+0s=0,证明 因为 01+1i + +(-1)j+0m=0,而0,1,(-1),0不全为零, 所以1, 2,m线性相关.,6. 判断下列向量组的线性相关性：,解 令k1(1, 1, 0)+k2(0, 1, 1)+k3(3, 0, 0)=0,即
14、,(2) (2, 0), (0, -1);,证明 因为 (2, 0)k(0, -1), 故(2, 0), (0, -1)线性无关.,(1) (1, 1, 0), (0, 1, 1), (3, 0, 0);,所以, k1=k2=k3=0, 故(1, 1, 0), (0, 1, 1), (3, 0, 0)线性无关.,解 因为,(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,3,4,11,12);,(3) (4, -5, 2, 6), (2, -2, 1, 3), (6, -3, 3, 9), (4, -1, 5, 6);,所以, 向量组的秩等于3，故向量组线性相关.,解 因为,所以, 向量组的秩等于4，故向量组线性无关.,7. 设1,2,3线性无关,证明:1+2,2+3,3+1线性无关.,
