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1、学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题国防科技大学 2006 年大学数学竞赛(非数学专业类)试卷大学数学竞赛(非数学专业类)试卷题号一二三四五六七八总分分数请填写下列信息所学课程(打)年级高等数学线性代数概率统计数学分析一、解答下列各题(每小题 8 分,共 48 分)1已知 , 计算 .20( 1)( )(21)!n nnxxn0230( )d lim( 1)ln(1)xxxttxxex高等数学试卷 第 1 页(共 12 页)2已知球面的方程为,计算2222xyzR3(1) dzS A3已知函数在上连续,在内可导,且,证明对于任( )f x , a b( , )a b( )( )0
2、f af b何自然数,至少存在一点,使得k( , )a b( )( )kff.高等数学试卷 第 2 页(共 12 页)学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题4设函数在闭区域上具有一阶连续偏导数,又向( , ), ( , )u x y v x y22:2D xyy量值函数,假定在( , )( , )( , )x yu x yv x yAij( , )()()uuvvx yxyxyBij闭区域 D 的边界上满足:,试计算二重积分C( , )1,( , )u x yv x yy( , )( , ) dDx yx yABA高等数学试卷 第 3 页(共 12 页)5一袋中装有红、白、黑三个球
3、,每次从袋中任取一球,观察颜色后放回,直到三种颜色的球都出现为止以表示取球次数,求的概率X6X 高等数学试卷 第 4 页(共 12 页)学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题6设为实数,其中011,na aa()i jn nbB1,1,1,2,3, ,0,ji jainbijjn 其余,若为的特征值,证明:为的特征向量.B21 T(1, ,)n B高等数学试卷 第 5 页(共 12 页)二、 (12 分)证明:3 2211 618(42),111nxxxnxxx 高等数学试卷 第 6 页(共 12 页)密 封 线 内 不 要 答 题学 号姓 名单位名称三、 (15 分)求圆柱面()
4、被平面截下的那部分的面221xy0z zaxby积,其中,而(0,0)xyaf (0,0)yxbf 2222,( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 高等数学试卷 第 7 页(共 12 页)四、 (15 分)某设备在时开始工作,在工作中可能会受到外界的各种随机冲击,0t 假定在时间内设备受到外界冲击的次数服从分布(0, ) ttNPossion(),0,1,2,!k t ttP Nkekk如果该设备能经受住外界 2 次冲击,当第 3 次冲击发生时设备失效以表示该设X 备的使用寿命,求的概率密度以及该设备的平均使用寿命X高等数学试卷 第 8
5、页(共 12 页)学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题五、 (15 分)有一水平放置的直径为 30 厘米的圆盘,正在按每分钟四周的匀 角速度旋转,离圆盘较远但在同一水平面上有一点光源在发光,一只昆虫在距 离光源最远处的圆盘边,头对光源,这时它立即惊起按每秒 1 厘米的速度爬行, 爬行中头总是对着光源试建立昆虫运动的微分方程,并问昆虫在圆盘边的哪 点处离开圆盘?高等数学试卷 第 9 页(共 12 页)六、 (15 分)讨论三个平面,11111:a xb yc zd22222:a xb yc zd33333:a xb yc zd的位置关系,画出图形,并说明理由.高等数学试卷 第 10 页(共 12 页)学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题七、 (15 分)设元函数,n12 222 1212111 12111( ,)nnnnnn nxxx xxxf x xxxxx (1)证明 ;(2)计算10niif x 1ni iifxx 高等数学试卷 第 11 页(共 12 页)八、 (15 分) (1)证明:,;111ln2111 ln213521nnn 1,2,n (2)计算 2 2 01sinlimdlnsinnnxxnx高等数学试卷 第 12 页(共 12 页)