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1、学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题国防科技大学 2006 年大学数学竞赛（非数学专业类）试卷大学数学竞赛（非数学专业类）试卷题号一二三四五六七八总分分数请填写下列信息所学课程（打）年级高等数学线性代数概率统计数学分析一、解答下列各题（每小题 8 分，共 48 分）1已知 ， 计算 .20( 1)( )(21)!n nnxxn0230( )d lim( 1)ln(1)xxxttxxex高等数学试卷 第 1 页（共 12 页）2已知球面的方程为，计算2222xyzR3(1) dzS A3已知函数在上连续，在内可导，且，证明对于任( )f x , a b( , )a b( )( )0
2、f af b何自然数，至少存在一点，使得k( , )a b( )( )kff.高等数学试卷 第 2 页（共 12 页）学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题4设函数在闭区域上具有一阶连续偏导数，又向( , ), ( , )u x y v x y22:2D xyy量值函数，假定在( , )( , )( , )x yu x yv x yAij( , )()()uuvvx yxyxyBij闭区域 D 的边界上满足：，试计算二重积分C( , )1,( , )u x yv x yy( , )( , ) dDx yx yABA高等数学试卷 第 3 页（共 12 页）5一袋中装有红、白、黑三个球
3、，每次从袋中任取一球，观察颜色后放回，直到三种颜色的球都出现为止以表示取球次数，求的概率X6X 高等数学试卷 第 4 页（共 12 页）学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题6设为实数，其中011,na aa()i jn nbB1,1,1,2,3, ,0,ji jainbijjn 其余,若为的特征值，证明：为的特征向量.B21 T(1, ,)n B高等数学试卷 第 5 页（共 12 页）二、 （12 分）证明：3 2211 618(42),111nxxxnxxx 高等数学试卷 第 6 页（共 12 页）密 封 线 内 不 要 答 题学 号姓 名单位名称三、 （15 分）求圆柱面（）
4、被平面截下的那部分的面221xy0z zaxby积，其中，而(0,0)xyaf (0,0)yxbf 2222,( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 高等数学试卷 第 7 页（共 12 页）四、 （15 分）某设备在时开始工作，在工作中可能会受到外界的各种随机冲击，0t 假定在时间内设备受到外界冲击的次数服从分布(0, ) ttNPossion(),0,1,2,!k t ttP Nkekk如果该设备能经受住外界 2 次冲击，当第 3 次冲击发生时设备失效以表示该设X 备的使用寿命，求的概率密度以及该设备的平均使用寿命X高等数学试卷 第 8
5、页（共 12 页）学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题五、 （15 分）有一水平放置的直径为 30 厘米的圆盘，正在按每分钟四周的匀 角速度旋转，离圆盘较远但在同一水平面上有一点光源在发光，一只昆虫在距 离光源最远处的圆盘边，头对光源，这时它立即惊起按每秒 1 厘米的速度爬行， 爬行中头总是对着光源试建立昆虫运动的微分方程，并问昆虫在圆盘边的哪 点处离开圆盘？高等数学试卷 第 9 页（共 12 页）六、 （15 分）讨论三个平面，11111:a xb yc zd22222:a xb yc zd33333:a xb yc zd的位置关系，画出图形，并说明理由.高等数学试卷 第 10 页（共 12 页）学 号姓 名单位名称密 封 线 内 不 要 答 题七、 （15 分）设元函数，n12 222 1212111 12111( ,)nnnnnn nxxx xxxf x xxxxx （1）证明 ；（2）计算10niif x 1ni iifxx 高等数学试卷 第 11 页（共 12 页）八、 （15 分） （1）证明：，；111ln2111 ln213521nnn 1,2,n （2）计算 2 2 01sinlimdlnsinnnxxnx高等数学试卷 第 12 页（共 12 页）
