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1、 复习要点一、极限一、极限1. （若（若 是正整数依然成立）是正整数依然成立） 。001 011 1 011,lim0, ,mm mm nnxnnamnba xa xaxamnb xb xbxbmn x2. （求分段函数在分界点的极限）（求分段函数在分界点的极限） ；lim( )lim( )lim( ) xaxbxbf xbf xf xb 3. ；1 ( ) ( )0( )0sin ( )lim1,lim 1( )( )u x u xu xu xu xeu x4. （罗比达法则）（罗比达法则） 。( ) 0( )limlim( )0( )xaxaf xfx g xg x二连续二连续1. 在点在
2、点 连续的充要条件是连续的充要条件是 ；( )f xalim( )( ) xaf xf a 2. 在点在点 连续的充要条件是连续的充要条件是（分段函数）（分段函数） 。( )f xalim( )lim( )( ) xaxaf xf xf a 三导数与微分三导数与微分1.熟练掌握基本初等函数的导数公式与四则运算法则；熟练掌握基本初等函数的导数公式与四则运算法则；2. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则( ( )( ( ). ( )f u xf u xu x( ( ( )( ( ( ). ( ( ). ( )f u v xf u v xu v xv x3. 高阶导数：二阶导数就是对导数再求导数，
3、三阶导数就是对二阶高阶导数：二阶导数就是对导数再求导数，三阶导数就是对二阶导数再求导数。导数再求导数。4. 由方程由方程确定的隐函数确定的隐函数的导数，就是对方程两边关的导数，就是对方程两边关( , )0F x y ( )yf x于于 求导数，把求导数，把 看作看作 的函数，然后解出的函数，然后解出。xyxy5. 导数的几何意义是曲线导数的几何意义是曲线在点在点的切线的斜率，因此，的切线的斜率，因此，( )yf x00(,)xy曲线曲线在点在点的切线方程为的切线方程为，法线方程，法线方程( )yf x00(,)xy000()()yyfxxx为为。00 01()()yyxxfx 6. 微分微分
4、( )dyfx dx四微分中值定理及导数的应用四微分中值定理及导数的应用1. 掌握洛尔定理与拉格朗日定理的条件与结论；掌握洛尔定理与拉格朗日定理的条件与结论；2.若若在区间在区间内有内有（） ，则，则递增（递减）递增（递减） ；( )f x( , )a b( )0fx( )0fx( )f x3.求单调区间的方法：令求单调区间的方法：令，解出驻点，解出驻点，判别，判别在在两侧两侧( )0fx0x( )fx0x的符号。的符号。4. 是极值的必要条件为是极值的必要条件为或导数不存在，或导数不存在，极值的充极值的充0()f x0()0fx0()f x分条件是分条件是在在两侧异号或两侧异号或。( )fx
5、0x0 0 00,()()0,()f xfxf x是极大值 是极小值5. 利润函数利润函数等于总收益函数等于总收益函数减去总成本函数减去总成本函数，即，即( )L x( )R x( )C x， 为价格。求最大利润就是为价格。求最大利润就是的最大值。的最大值。( )( )( )L xR xC xx( )L x6.是曲线是曲线的拐点的必要条件的拐点的必要条件或或不存在。不存在。00(,()xf x( )yf x0()0fx0()fx是曲线是曲线的拐点的充分条件为的拐点的充分条件为在在的两侧异号。的两侧异号。00(,()xf x( )yf x( )fx0x曲线是凹，曲线是凹，曲线是凸。曲线是凸。(
6、)0fx( )0fx五不定积分五不定积分1. 若若，则，则是是的一个原函数，若的一个原函数，若有原函数必有原函数必( )( )F xf x( )F x( )f x( )f x有无穷多个原函数，且任意两个原函数只相差一个常数。有无穷多个原函数，且任意两个原函数只相差一个常数。2. 不定积分不定积分表示表示的全部原函数，因此的全部原函数，因此或或( )f x dx( )f x( )( )f x dxf x；( )( )df x dxf x dx3.熟练掌握不定积分的性质和基本初等函数的积分公式。熟练掌握不定积分的性质和基本初等函数的积分公式。4. 熟练掌握积分方法，换元法熟练掌握积分方法，换元法，
7、是是( ( ) ( ) ( )fxx dxFxC( )F x的原函数；的原函数；( )f x分部积分公式分部积分公式。( )( )( ) ( )( ) ( )u x dv xu x v xv x u x dx通过微分可以变简单的函数选作通过微分可以变简单的函数选作，剩余的函数凑成，剩余的函数凑成。含。含( )u x( )dv x有有的被积函数通常选作的被积函数通常选作。,ln ,arcsin ,arccos ,arctankxxxxx( )u x六、六、 定积分定积分1. 上限函数的导数上限函数的导数 ( )( )( )( ( ). ( )( ( ). ( )u xv xdf t dtf u
8、xu xf v xv xdx2.牛顿莱布尼兹公式：若牛顿莱布尼兹公式：若在区间在区间上连续，且上连续，且是是的一的一( )f x , a b( )F x( )f x个原函数，则个原函数，则( )( )( )( )babf x dxF xF bF aa3.掌握定积分的性质，尤其是掌握定积分的性质，尤其是，( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx( )0aaf x dx 00,( ) ( )2( ),( )a aaf x f x dxf x dxf x 为奇函数为偶函数4.掌握定积分换元法和分部积分法；掌握定积分换元法和分部积分法；5.，表示曲线表示曲线，及直线及直线，(
9、 )( )f xg x ( )( )baf xg x dx( )yf x( )yg xxa所围成图形的面积。所围成图形的面积。xb6. 由曲线由曲线，围成的图形绕围成的图形绕 轴旋转一周所轴旋转一周所( )yf xxaxb0y x得立体的体积得立体的体积2 ( )baVf xdx7. 广义积分广义积分( )lim( )baabf x dxf x dx存在，广义积分收敛不存在，广义积分发散。七微分方程七微分方程1. 满足微分方程的函数称为微分方程的解。满足微分方程的函数称为微分方程的解。2. 通解：含有独立常数且常数个数与微分方程的阶数相同的解。通解：含有独立常数且常数个数与微分方程的阶数相同的解。3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 的通解的通解( )( )yp x yq x( )( )( )p x x dxyeq x edxC4. 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy通解通解12 1212 2 1212,(),0(cossin),r xr x2rxxC eC er rr + pr+q=0yCC x errprqeCxCxri 是特征方程的相异实根是特征方程重根是特征方程的共轭复数根
