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1、ARCH-GARCH模型研究综述,管理决策与系统理论第一小组 林芃 方伟正 胡琪玲 李雅馨,引言,自回归条件异方差（ARCH）模型是由Robert Engle于1982年最早提出的，自ARCH模型始创以来，经历了两次突破。 一次是广义ARCH（Generalized ARCH），也即GARCH模型的提出。从此以后，几乎所有的ARCH模型新成果都是在GARCH模型基础上得到的。 第二次则是长记忆在经济学上的研究取得突破，与ARCH模型相结合所产生的一系列长记忆ARCH的研究从1996年至今方兴未艾ARCH类模型因其良好的统计特性和对波动现象的准确描述，被广泛地应用于对经济类时间序列数据，如利率、
2、外汇汇率、通货膨胀率等的回归分析及预测中。 我们将把介绍的重点放在ARCH模型早期阶段及第一次突破进展阶段。,研究框架,早期ARCH模型族优缺点线性ARCH模型（LARCH)ARCH-M模型TARCH和NARCH模型 GARCH模型的提出与发展线性GARCH模型（LGARCH)EGARCH模型求和GARCH（IGARCH)模型GARCH-M模型,一、早期ARCH模型族,ARCH模型,从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。
3、这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 自回归条件异方差模型(ARCH)就是基于这个问题提出的。,自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,
4、T.,1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。为了刻画预测误差的方差中的相关性，恩格尔提出自回归条件异方差 （ARCH）模型。ARCH的主要思想是时刻t的ut的方差（= ）依赖于时刻(t1)的残差平方的大小，即依赖于,ARCH模型,线性ARCH模型,均值修正的资产收益率 是前后不相关的，但不是独立的的不独立性可以用一个它的延迟值的简单二次函数来描述,从模型的结构上看，大的过去抖动的平方 导出均值修正的收益率 的大的条件方差 。从而， 有较大值的倾向。我们把这种在ARCH的框架下，大
5、的抖动会接着另一个大的抖动的现象叫做ARCH效应(这种效应的本质其实就是序列不是独立的)，这种现象与对资产收益率所观察到的波动率聚集相似。,模型结构,模型的建立,ARCH模型建立的简单方法包括三个步骤： （1）对收益率序列建立一个经济计量模型(如ARMA模型)，以分离出数据中的任何线性相关成分，并用该模型的残差序列检验ARCH效应； （2）具体确定ARCH模型的阶，并估计参数； （3）仔细检验所拟合的ARCH模型，对它进行必要的改进。常用的检验方法有Ljung-Box统计量和Engle在1982年提出的拉格朗日乘子法。,模型的缺点,ARCH模型有不少优点，但也有一些缺点： 1）ARCH模型假定
6、正的抖动和负的抖动对波动率有相同的影响，因为波动率依赖于以前抖动的平方。实际中，众所周知，金融资产价格对正的和负的抖动的反应是不同的。 2）ARCH模型对参数的限制是相当严格的。例如不同阶距对a1的限制。 3）对于弄清一个金融时间序列的变化的来源， ARCH模型不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方式来描述条件方差的状态，而对由什么引起这种变化没有给出任何启示。 4）ARCH模型会过高估计波动率，因为它对收益率序列大的孤立的抖动反应缓慢。,ARCH-M模型,ARCH-M模型由Engle、Lilien和Robins于1985年首先提出，1987年正式发表。 ARCH模型考虑了条件方差的时变性
7、因素，用以分析波动性，而波动性的分析与风险是分不开的。于是，Engle等人进一步把条件方差可以作为随时间改变的风险度量这一重要用途纳入考虑范围，将风险与收益联系在一起，就提出了这一ARCH模型族的重要分支。,虽然ARCH-M模型可以使条件异方差能够直接影响收益均值，但其估计问题却比较难解决,Engle等把资产分为有风险资产和无风险资产两类， 风险由有风险资产的条件方差的函数来度量，风险规避者的出价会随风险的变化而变化，从而，均衡价格将决定于“均值-方差”之间的关系。模型的最简单形式可表示为： （4）这里 表示某资产在时间t 的超额收益率， 是条件方差 的函数， 如（2）定义。他们将 取为 ，
8、模型（4）与（2）一起构成 ARCH-in-Mean模型。把模型应用于美国国债分析，若将三个月期国债视为无风险资产，那么可以发现，六个月期国债的超额收益率显著地受风险项 的影响。,TARCH与NARCH模型,除了ARCH-M之外，ARCH还有两个较重要的形式，分别是TARCH和NARCH。 TARCH(Thresold ARCH)模型考虑到了方差与扰动项的正负符号有关，NARCH则是一种重要的非线性ARCH模型，二者都针对性地解决了线性ARCH模型的某部分缺陷，比线性ARCH模型更先进。但由于也没有考虑方差的自相关和长记忆问题，而被归于第一阶段。 在ARCH拓展为GARCH的阶段，它们也都对应
9、有TGARCH和NGARCH形式。,二、GARCH模型的提出与发展,线性GARCH模型,当人们发现ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢”这一信息，而且在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏时,GARCH模型应运而生。 GARCH模型认为，在一定时期内，误差项的方差不仅取决于误差项过去的方差，而且还取决于过去的误差项本身。,在标准化的GARCH(1,1)模型中,设(3.2.1)(3.2.2) 其中： 是一个独立同分布的随机变量序列，均值为0，方差为1， ，(3.2.1)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差
10、 ，所以它被称作条件方差。,GARCH(1，1)模型,(3.2.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：2用均值方程(3.2.1)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： at2-1（ARCH项）。3上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2的说明。,GARCH(1，1)模型,GARCH(p, q)模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q
11、得到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为： （3.2.5）这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。,GARCH(p，q)模型,GARCH模型的优缺点,GARCH模型的优点 1、GARCH更加简便，具有更强的应用性，开辟了ARCH模型族的新篇章.从这时起，大多数新涌现的ARCH模型多为GARCH型，即考虑了异方差本身的自回归； 2、ARCH模型中参数多，估计时比较困难，而GARCH模型在实际应用中可以很好地节约ARCH模型的参数； 3、GARCH模型提供了一个更加灵活的滞后结构，这补充了ARCH模型无法描述自相关系数消退速度慢的缺陷。GARCH模型的缺点 1、GARCH模型
12、没有解决早期ARCH模型中条件异方差值取决于扰动项的大小而与其负号无关； 2、LGRCH模型为了确保条件异方差几乎处处非负，对参数 和 所要求的非负限制也是一种局限； 3、LGRCH模型很难判断引起条件方差波动源的持续性，而这种持续性在许多研究有资产波动的时间序列时都是核心问题。,E-GARCH模型,实证研究表明，收益率分布存在尖峰、厚尾性，且收益率残差对收益率存在非对称的影响。具体来看，当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；反之，股价上升时，波动性减小。股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司价值不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。
13、因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。 所以，非对称GARCH模型的出现十分必要。,EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：(3.4.3) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。 杠杆效应的存在能够通过 0)对 的影响是持久的。IGARCH(1,1)模型能写成：（3.2.6 ）其中 与前面的定义一样，1 0.在研究IGARCH(1,1)模型时， 的情形是令人感兴趣的。这时对所有的预测步长都是 。这个特殊的IGARCH(1,1)模型正是风险度量系统RiskMetrics所用的波动率模型，这个系统是一种计算风险值（Value at Risk)的方法。,
