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1、音高标识与音律计算音律知识应该是音乐工作者的基本功，无论是作曲者，还是演唱、演奏者，懂得音律，必有利于能力的发挥；而从事音乐研究的人具有一定的音律学知识，可使研究更细致、更深刻；即使是音乐爱好者，具有音律学知识，对于音乐作品的理解深度与欣赏能力的提高，必有明显的帮助。尽管这个道理是人人皆知的，但是多数人对于音律学都不愿意接触，认定音律学乃是一种艰深的学问。这一认识尽管有其其历史根源，却未必正确。律学堪称为外国的国学。自古至今，我国历代律学着作积累颇丰，涉及律学的着作如管子、 吕氏春秋 、 淮南子 、 “二十五史” , 虽然不能说汗牛充栋，却可认定为在世界各国中绝无仅有的。事实上就我国古代的律学
2、着作来说，这些音律学着作也确实存在着不少缺憾：例如将律学的基础研究弄得很琐碎；以“同律度量衡”为口实，硬把律、度、量、衡牵扯在一起；把律与历（法）、天象和候气混搅在一起，从而把律学又弄得很玄。如此等等。所有这些律学研究上存在的问题，都成了人们学习音律学知识的心理障碍。应该承认，“同律度量衡”有其科学的内涵，“度、量、权、衡”是关系人们生活的大事，它得有个统一的标准。如今将黄钟正律管的长度作为“长度”（分、寸、尺、丈）的标准，将黄钟正律管的容积作为“容量”（龠、合、升、斗、斛）的标准，将黄钟正律管内的积实作为“权”（砝码）的标准，从而制定衡器（秤），这确实有其一定的科学性。但是将十二律管的来源神
3、秘化，就未免将问题复杂化。律与历的糅合， 乃是因为古代将十二律与十二月令糅合一起的缘故；月令与天象密切相关，因此古代的正史便将 “律”与“历”合作一志。除去以上所述人为造成的律学研究神秘因素而外，也毋庸讳言 ,音律学确实有其艰深的一面。这是因为律学是音乐声学中的一个重要组成部分。人们在解决一些律学理论和乐器制作方面的具体问题时,不少音律学问题涉及到人们至今还难以弄清的音乐声学方面之问题的缘故。笔者认为,律学并不是玄学,在音乐范畴内它是极其重要的应用科学，实用是它的重要属性。因此，有关这方面的音律学知识，还是可以讲得浅显些的。本文打算谈一点这方面的知识。一、音高标识乐曲有一定的调，乐音有一定的音
4、高，我国古代很早就注意到音律和调高了。我国古代音高 （绝对音高） 是用黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟等十二律吕来表示的。黄钟、太蔟、姑洗、蕤宾、夷则、无射等为六律，为阳；大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟等为六吕，为阴。黄钟（正律） ，据我国古代典籍记载，乃是径三分、长九寸的闭管律管所奏出的音高；也就是说，管内径为管长的三十分之一，因此， 汉书就认定管内周为管长的十分之一。由此可知，汉代的圆周率为“周三径一”。康熙帝曾批评这种“约率” ，认定用这种约率制作的律管，无论如何都是不会合律的。康熙帝的这一批评近似于诡辩，当然是不正确的。我国古代的律管，无论是铜
5、质的、玉质的还是竹质的，除明代音律学家朱载堉所设计的36 支异径律管为开管外，其余都是闭管。朱载堉所设计的律管为开管，这在律学新说吹律第八中有明确的说明。朱载堉说：“尝以新律使人吹之，能吹响者十无一二。往往因其不响辄以指掩下端，识者哂之。”瞧！朱载堉所设计的律管是不能“以指掩其下端”的。这两端通洞的律管不就是开管吗？这种律管不同于一般的箫笛之类管乐器。它有自己特定的吹律方法。这种吹律方法在律学新说吹律第八中也有明确的说明。朱载堉说：吹律时“吹律者须凝神调息，绝诸念虑，新安志定，与道潜符，而后启唇少许，吐微气以吹之，令气悠悠入于管中，则其正声乃发。又要持管端直，不可轩昂上端，空围不可以唇掩之。”
6、这种吹律方法很有其特殊性。律管的末端掩住以后，末端校正量便等于零；吹奏端“空围不可以唇掩之”，则其管端校正量不仅最小，也最稳定，当温度和湿度不变时，律管吹出的频率也就相当稳定。本人曾在上海交通大学的声学实验室内间断地吹过三次测频，所测频率竟完全一致。这也说明，数千年前的古人就具有了相当的声学知识。如今已说清楚朱载堉的异径律管为开管，又何以知道古代的律管惟独朱载堉所设计的律管为开管，而其他律管皆为闭管呢？这就得弄清朱载堉所设计的律管与其他律管直接的差别。原来朱载堉所设计的36 支异径律管都开有一个一分七厘六的豁口，而其他律管则没有。别小看这豁口，它有很重要的功用。古人云，“差之毫厘，失之千里”，
7、这小小的豁口就象洞箫的豁口一样，很有利于律管的发声。尽管如此，这开有豁口的律管“能吹响者十无一二”，而没有豁口的律管若不“以指掩其下端”，空围又不以唇掩之，那是根本无法吹响的；而“以指掩其下端”，不但易于吹响，而且发声响亮，音高又十分稳定。这一事实就充分说明古代律管为闭管。所缺憾的是，由于历代度量衡器不同，历代的黄钟正律音高也就大不一致；尽管我国音乐大家杨荫浏先生在中国音乐史纲中曾用“律管频率计算公式”计算出了 “历代黄钟正律音高” ，但是由于“律管频率计算公式”的不严密，所以计算出的频率也就不可信（注一）。如今音高的表示方法，通常都用A、B、 C、D、E、F、G 七个英文字母及升降符号来表示
8、十二律之音高。这种音高的表示方法，由于用途的不同而有所差异。具体地说，就是有物理学和音乐学两种不同学科的两种不同音高表示方法。物理学上的音高表示方法，用的一律为大字元号，即:C0、#C0、D0、bE0、E0、F0、#F0、G0、bA0、 A0、bB0、B0；C1、D1、E1、F1、 G1、A1、B1；C2、D2、 E2、F2、G2、A2 、B2； , 。音乐上音高的表示方法与物理不同，它有大字组和小字组两类，大小字组又以阿拉伯数位表示组别。例如大字二组：C2、#C2、D2、bE2、E2、F2、#F2、G2、bA2、A2、bB2、 B2；大字一组： C1?B1；大字组： C?B；小字组： c?b
9、；小字一组： c1?b1；小字二组：c2?b2； , 。关于标准音有两方面的内容，一是物理音高，一为音乐音高。物理音高的中央C 为 256Hz（赫兹），其优点是256 可以被 2 整除， C0 为 16Hz。音乐上的标准音分第一国际音高和第二国际音高。第一国际音高是一八三四年物理学家在德国司徒嘉特会意上决定的为 a1=440Hz；第二国际音高是一八五九年在法国巴黎召开的音乐与物理学家会议上决定的，a1=435Hz。如今由于工业的发达，国际音高有升高的趋势。这里需要说明的是，音乐上的c1 就是我们通常所说的中央C，它相当于物理音高的C4。音乐上的C2音，相当于物理音高C0 。所谓的国际音高，音乐
10、上音高的表示方法为a1，而物理学上则用A4。音乐和物理的两种音高表示方法，其在音名的表示方法上，有两组容易混淆，即音乐上的大字一、二组和物理上的大字一、二组，其余各组则不可能混淆。至于音乐上的C2（大字二组，相当于物理上的C0） ，其频率为16.35Hz。物理学为什么把16Hz 作为 C0 呢？原来16Hz 是人耳所能听到的最低音，低于这个频率的声波被称作“次声”。次声乃是人耳无法听见的声音。在音乐研究或音乐考古工作中,我们常常需要对一些乐器的音高进行检测。这些乐器上所发之音,当然不可能同今日所规定的标准音一致,往往不是比某音高,就是比某音低。 为了能体现出某音的准确高度，通常都借助音分来表示
11、。例如 E4+38，或者 F5-45 等。我们不难看出，这E4+38 所用的乃是用的物理学上的音高表示方法。由于物理学上的E4，就是音乐学上的 e1，故而物理学上的音高E4+38 就是音乐学上的e1+38，也就是说，该音比e1 音要高 38 音分。又如F5-45 音分，由于物理学上的F5，就是音乐学上的f2，故而 F5-45就是比 f2 低 45 音分的音。E+38及 F5-45的音高表示法， 又可以用音分来表示:E4+38 可以写成5238 音分， F5-45 可以写成6455 音分。 这又是什么 道理呢？原来十二平均律的一个八度是1200 音分，C0乃是 0 音分，C1 便是 1200 音
12、分，4 便是 4800 音分，E4是 5200音分， E4+38 当然就是5238 音分了。音高还有另一种表示方法，那就是用频率来表示。例如E4+38 的频率是 336.94Hz，F5-45的频率是680.54Hz。这种种计算方法，下文将作专门介绍。这儿还要指出一点,那就是尽管频率不变,若标准音有所变动,音程也就会随着变动。例如第一国际音高a1 的频率为440Hz，第二国际音高a1 的频率为435Hz；这两个音相差已达19.79 音分。再就c1 来说， a1 若为 440Hz， c1 的频率就是 261.63Hz；a1 若为 435Hz,那么 c1 的频率就是258.65 Hz。二、律制种种无
13、论是演唱还是演奏,只要涉及音准就必然要涉及到律制,不同的律制有不同的音准标准。如今世人公认的三大律制，根据其出现的先后分别为三分损益律、纯律和十二平均律。当然,除了这三大律制而外,还有不少不十分规范的“律制”。笔者认为 ,这些所谓不十分规范的律制，乃是由于它们不像三大律制那样有明确的生律方法，而仅仅是靠着对演奏的测频所下的结论，例如不少专家对我国民间所用的均孔笛演奏实际所定义的“七平均律”，以及除十二平均律以外的众多“平均律”。由于本文乃是介绍音律计算的，旨意不在讨论律制，故而只介绍三大律制，对所谓的“七平均律”，以及其他众多的“平均律”不作讨论。（一）三分损益律三分损益律乃是用三分损益法生成
14、。此律亦被称作五度相生律。五度相生律，据说乃是希腊哲学家毕达哥拉斯所发明。三分损益法是用振动物体分成三份，损其一份以生成上方五度音，益其一份则生成下方四度音。由于三分损益律所用振动实体之比例为4：3 及 2：3，故而现代音律学家吴南熏称它为“简律”。我国最早记载三分损益律的着作是管子。管子（仲）与毕达哥拉斯生活的年代差不多。尽管有不少专家在研究五度相生律与三分损益律的异同，但是笔者认为，五度相生律和三分损益律的本质乃是相同的。不过五度相生律所生各律不在一均（一个八度）之内，就以c1 来说，用五度相生法生成的第12 律乃是 f7 而不是 f1，因此得移低6 组（即除以64） ；若此，它的生律方法
15、不仅与三分损益律完全相同，而又远不及三分损益律明瞭。三分损益律十二律的生律顺序依次为：黄钟 ?林钟 ?太蔟 ?南吕 ?姑洗 ?应钟 ?蕤宾 ?大吕 ?夷则 ?夹钟 ?无射 ?仲吕。 这十二律吕由黄钟始，阳律生阴吕，阴吕又生阳律。现将十二律相邻二律之间的音程（音分）,以及黄钟宫七声之间的音程（音分）列表于下（单位：音分）：律名黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾林钟夷则南吕无射应钟音程0.00 113.69 90.22 113.69 90.22 113.69 90.22 90.22 113.69 90.22 113.69 90.22 音名宫商角变征征羽变宫音程0.00 203.91 203.91 203
16、.91 90.22 203.91 203.91 三分损益律的各个半音之间的音程是不等的，有大半音与小半音之分。因此从黄钟生律十二次以后就无法回到黄钟，而只能是比黄钟高一古代音差的黄钟变律。由于古人曾把律与历糅合在一起，西汉末年的音律学家京房就将三分损益律演算到第六十律，南北朝时的钱乐之更是演算至第三百六十律，以求“一日当一律”。三分损益律就十二律来说，无论是“损一”还是“益一”，就是算齐十二律备查，也并不十分繁难；但是要算全三百六十律就不轻松了。过去曾有人算全三百六十律，再加上细心的验算，耗时达数月之久。本人就无意这浩繁的“工程”，因此归结出了“三分损益律”算式。该算式为logfn=logf0nlog3- （ n+a） log2，其中的a 为 n 乘以 （log3-log2 ）/log2的整数部分。（二）纯律纯律的出现晚于三分损益律。它的大二度、四度、五度与三分损益律无异；而大、小三度却与三分损益律有明显的差别。由于大三度为386.31 音分，小三度为315.64 音分，故而完全应该认定,这音调同泛音相关。因为三分损益律中的纯五度乃
