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1、难题攻克之奇偶性与单调性专题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 . 难点磁场( )设 a0,f(x)=xxeaae是 R 上的偶函数，(1)求 a的值；(2)证明： f(x)在(0，+)上是增函数 . 案例探究例 1 已知函数 f(x)在(1， 1)上有定义，f( 21)=1,当且仅当 00,1x1x20，12121xxxx0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)3a22a+1.解之，得 01). (1)证明：函数 f(x)在(1，+)上为增函数 . (2)用
2、反证法证明方程f(x)=0 没有负数根 . 6.( )求证函数 f(x)=223)1( xx在区间 (1，+)上是减函数 . 7.( )设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)= )()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数 . (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 8.( ) 已知 函数f(x) 的定 义 域 为 R ， 且对 m 、 n R,恒 有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f( 21)=0,当 x 21时，f(x)0. (1)求证： f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这
3、种性质的一个函数，并加以验证. 参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切xR,有 f(x)=f(x),即xxxaeeaae1+aex.整理，得 (a a1) (exxe1)=0.因此，有 a a1=0,即 a2=1,又 a0,a=1 (2)证法一： 设 0x1x2,则 f(x1)f(x2)=)11)(1121122121xxxxxxxxeee eeee21211211)1(xxxx xxxeeee由 x10,x20,x2x1,112xxe0,1e21xx0, f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) f(x)在(0,+)上是增函数证法二：由 f(x)=ex+ex，得 f(x)=exex
4、=ex(e2x1).当 x(0,+)时，ex0,e2x10. 此时 f(x)0,所以 f(x)在0，+)上是增函数 . 歼灭难点训练一、1.解析：f(x)= )0()()0()()0()0(2222xxxxxxxxxxxx=f(x)，故f(x)为奇函数 . 答案： C 2.解析： f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 答案： C 二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在(,1上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减 . 答案： (,14. 解 析 ： f(0)=f(x1)=f(x2)=0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x1
5、)(x x2)=ax3a(x1+x2)x2+ax 1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在 x2,+)单调递增，故 a0.又知 0x1x,得 x1+x20, b=a(x1+x2)0. 答案： (,0）三、5.证明：(1）设1x1x2+,则 x2x10,12xxa1 且1xa0, )1(12112xxxxxaaaa0,又 x1+10,x2+10 )1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0, 于是 f(x2)f(x1)=12xxaa+ 12121122xxxx0 f(x)在(1，+）上为递增函数 . (2） 证法一
6、：设存在 x00(x01)满足 f(x0)=0,则 12000xxax且由 00xa1 得 0 1200xx1,即 21x02 与 x00 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根 . 证法二：设存在 x00(x01)使 f(x0)=0,若1x00,则 1200xx2,0xa1,f(x0)1与 f(x0)=0 矛盾，若 x01,则 1200xx0,0xa0， f(x0)0 与 f(x0)=0矛盾，故方程 f(x)=0 没有负数根 . 6.证明： x0,f(x)= 22422322 )11(1)1(1)1(1xx xxxxx, 设 1x1x2+,则01 11 1 ,1112 12 22 12 2xxx
7、x. 2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xx xxxx xxf(x1)f(x2),f(x)在(1， +） 上是减函数 .(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= )()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数 . (2）要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=fx(a)=)1)( 1)(1)()()(1)()()()(1)()(af xfxfxfafxfafxfafxfaf. ).(11 1)(1)(1 1)(1)(1)(1)( )()2( xfxfxfxfxfaxfaxf aaxfaxff(x+4a)=f(x+2a)+2a= )2(1axf=f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 8.(1）证明：设 x1x2,则 x2x1 21 21,由题意 f(x2x1 21)0, f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1 f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1 f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f( 21)1=f(x2x1) 210, f(x)是单调递增函数 . (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略 .
