《2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例,总纲目录,教材研读,1.平面向量的数量积,考点突破,2.向量的数量积的性质,3.向量的数量积的运算律,考点二 平面向量数量积的应用,考点一 平面向量数量积的运算,4.平面向量的数量积的坐标表示,考点三 平面向量与三角函数的综合问题,教材研读,1.平面向量的数量积 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a,b,过O点作 =a, =b,则AOB=(0180) 叫做向量a与b的夹角. 当 =90 时,a与b垂直,记作ab; 当 =0 时,a与b同向; 当 =180 时,a与b反向.,(2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a
2、|b|cos 叫做a和b 的数量积(或内积),记作ab= |a|b|cos . (3)规定0a=0.,(4)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a 的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而 不是向量. (5)ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae=|a|cos . (2)ab ab=0 . (3)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b
3、反向时,ab=-|a|b|. 特别地,aa=|a|2. (4)cos = . (5)|ab|a|b|.,3.向量的数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab= x1x2+y1y2 . (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则ab x1x2+y1y2
4、=0 .,1.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,ab=-2,则(3a+b)(a-b)= ( ) A.1 B.3 C.4 D.5,B,答案 B 2a+b=0, a与b的夹角为,且|b|=2|a|, 又ab=-2,|a|b|cos =-2, |a|=1,|b|=2,故(3a+b)(a-b)=3|a|2-2ab-|b|2=31-2(-2)-4=3.,2.已知向量a与向量b的夹角为60,|a|=|b|=1,则|a-b|= ( ) A.3 B. C.2- D.1,D,答案 D |a-b|2=a2-2ab+b2=2-211cos 60=1,|a-b|=1,故选D.,3.(2017
5、北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“m n0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,A,答案 A 由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180, 则mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故 必要性不成立.故选A.,4.已知等边ABC的边长为3,D是BC边上一点,若BD=1,则 的值 是 6 .,答案 6,解析 由题意知 = ( + )= + =9+32cos =6.,5.在平面向量a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果ab=5,那么y=
6、1 ;如果|a+ b|=|a-b|,那么y= - .,答案 1;-,解析 因为ab=12+3y=5,所以y=1. 因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2ab=-2ab, 所以ab=0,即12+3y=0,所以y=- .,6.(2017北京海淀期中)已知正方形ABCD的边长为1,E是线段CD的中点, 则 = .,答案,解析 由题意可得 =0,AD=AB=1, = ( - ) = - - =1-0- = .,考点一 平面向量数量积的运算,考点突破,典例1 (1)(2017北京石景山一模,7)如图,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2, 点E为BC的中点,点F在边CD上,若
7、= ,则 的值是 ( )A.2- B.1 C. D.2 (2)(2017北京海淀二模,13)在四边形ABCD中,AB=2.若 = ( + ),则 = 2 .,C,答案 (1)C (2)2,解析 (1)解法一:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立 平面直角坐标系,则A(0,0),B( ,0),E( ,1), 设F(x,2),则 =(x,2),又 =( ,0), = x= ,x=1,F(1,2), 易知 =( ,1), =(1- ,2), = (1- )+2= . 解法二: =| | |cosBAF= ,| |= , | |cosBAF=1,即| |=1, | |= -1, =(
8、 + )( + ) = + + + = + ,= ( -1)(-1)+121 = . (2)由题意可知 = ( + )= = = = | |2=2.,方法技巧 向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab =x1x2+y1y2.,1-1 (2018北京朝阳高三期中,6)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AD DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则 = ( ) A. B.- C.1 D.-1,答案 D ABCD,ADDC,ADAB,
9、=0, =( + ) = =- 2=-1,故选D.,D,典例2 平面向量a与b的夹角是 ,且|a|=1,|b|=2,如果 =a+b, =a-3b, D是BC的中点,那么| |=( ) A. B.2 C.3 D.6,考点二 平面向量数量积的应用 命题方向一 模的问题,A,答案 A,解析 因为D为BC的中点,所以 = ( + ).又因为 =a+b, =a- 3b,所以 =a-b,所以| |2=(a-b)2=a2+b2-2ab=12+22-212cos =5-2=3. 因此| |= .故选A.,典例3 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos = ,若n(tm+n),则实 数t的值为 ( )
10、 A.4 B.-4 C. D.-,命题方向二 垂直问题,B,答案 B,解析 n(tm+n),n(tm+n)=0,即tmn+|n|2=0, t|m|n|cos +|n|2=0. 又4|m|=3|n|,cos= , t |n|2 +|n|2=0, n为非零向量, t+1=0,解得t=-4.,典例4 (1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a(a+b)=0,2|a|=|b|, 则向量a,b的夹角为 . (2)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 .,命题方向三 夹角问题,答案 (1) (2),解析 (1)设a与b的夹角为,因为a(
11、a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b| cos =0, 又因为2|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos =0,所以1+2cos =0,所以cos = - ,从而= .,(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量a与b 的夹角为,则cos = = ,又0,故= .,方法技巧 平面向量数量积的应用类型及求解策略 (1)求两向量的夹角:cos = ,要注意0,. (2)两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2=aa=|a|2或|a|
12、= . |ab|= = . 若a=(x,y),则|a|= .,2-1 (2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R), 则|= .,答案,解析 a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|= ,|= .,2-2 已知平面向量a,b满足a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|= .,答案,解析 (a+b)(a-b), (a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,|a|=|b|. 又a=(1,-1), |b|=|a|= = .,典例5 已知平面向量a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x),c=(-cos
13、 x,-sin x),x R,函数f(x)=a(b-c). (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)若f = ,求sin 的值.,考点三 平面向量与三角函数的综合问题,解析 (1)因为b=(sin x,-cos x),c=(-cos x,-sin x), 所以b-c=(sin x+cos x,sin x-cos x), 又a=(sin x,cos x), 所以f(x)=a(b-c)=sin x(sin x+cos x)+cos x(sin x-cos x), 则f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x = sin . 当2k+ 2x- 2k+ ,
14、kZ, 即k+ xk+ ,kZ时,函数f(x)为减函数, 所以函数f(x)的单调递减区间是 ,kZ.,(2)由(1)知f(x)= sin , 因为f = , 所以 sin = ,所以sin = . 又sin2 +cos2 =1,所以cos = . 又sin =sin =sin cos +cos sin . 所以当cos = 时, sin = + = ;,当cos =- 时, sin = + = . 综上,sin 的值为 或 .,方法技巧 求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路 (1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用 同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解. (2)求角时通常将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求 角. (3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归 的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.,3-1 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若mn,求证:ABC为等腰三角形; (2)若mp,边长c=2,角C= ,求ABC的面积.,
