（毕业论文）-正态分布对概率统计起源与发展的影响论文

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1、学号：学号：哈尔滨师范大学哈尔滨师范大学 学士学位论文学士学位论文题题 目目 正态分布对概率统计起源正态分布对概率统计起源与发展的影响与发展的影响学学 生生 指导教师指导教师 讲师讲师 年年 级级 2008 级级专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学系系 别别 数学系数学系学学 院院 数学科学学院数学科学学院哈哈 尔尔 滨滨 师师 范范 大大 学学学士学位论文开题报告学士学位论文开题报告论文题目 正态分布对概率统计起源与发展的影响学生姓名 指导教师 讲师年 级 2008 级专 业 数学与应用数学2011 年 11 月说说 明明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。说明

2、课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务） 、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。课题来源：由指导教师提供。课题研究的目的和意义：正态分布属于概率论的范围，同时也是统计学的基石，它的提出和应用具有其独特的双重理论背景和重要价值。正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，大样本这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。结合不同阶段的发展背景，对该理论的思想演化过程及

3、其代表人物的重要工作做分析与总结，阐明了正态分布在发展的不同阶段同相关理论的相互影响，强调该理论从产生到成熟发展的曲折性，诠释概率统计理论由观念转变和技术创新来推动发展的微妙性及二者互为渗透、交融的发展规律，可以为现代数学史研究和数学教育提供借鉴意义。国内外同类课题研究现状及发展趋势：正态分布概念是由德国的数学家和天文学家 Moivre 于 1733 年受次提出的，但由于德国数学家 Gauss 率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。对于正态分布的发展过程，现有文献大多是谈论某一个人物或某一阶段对正态分布理论的工作，并且以详实地记录其理论上的推导和证明为主，对于正态分布从开始不受重

4、视到之后大行其道的发展背景和历史根源并没有进行详尽地挖掘和明确地表述，而后者对于数学研究则更具有理论价值和指导意义。以正态分布的历史发展为题材，对其不同阶段的发展背景做系统的分析与总结，并以此为线索来考证概率统计理论由互相孤立到彼此渗透，再到相互交融的发展特点等问题将是该题目研究的方向。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：研究内容：1正态曲线在概率论中的提出； 2正态分布从误差论中的重生；3正态分布向近代统计学的引入； 4正态分布对现代统计学的影响；主要问题：1正态分布进入概率统计的历史演化；2正态分布对概率统计的影响；解决办法1查阅相关文献，从正态分布的发展来明确主要路

5、线；2参考中外学者对正态分布的总结分析，来了解正态分布对概率统计的重要意义。课题研究起止时间和进度安排：1. 指导教师给学生下达任务(2011.09.012011.10.02);2. 完成开题报告，交给指导教师审阅 (2011.10.022011.11.25);3. 完成毕业论文，交给指导教师审阅 (2012.03.152012.04.15);4. 毕业论文答辩 (2012.04.162012.04.26).课题研究所需主要设备、仪器及药品：外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：指导教师 （签字）年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任 （签字）年 月院（系）审查意

6、见：_院（系）主任 （签字）年 月学学 士士 学学 位位 论论 文文题题 目目 正态分布对概率统计起源正态分布对概率统计起源与发展的影响与发展的影响学学 生生 指导教师指导教师 讲师讲师年年 级级 2008 级级专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学系系 别别 数学系数学系学学 院院 数学科学学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012 年 4 月目 录摘要.1关键词.1引言.11、正态曲线在概率论中的提出.12、正态分布从误差论中的重生.23、正态分布向近代统计学的引入.34、正态分布对现代统计学的影响.4结束语 7参考文献.8英文摘要.90正态分布对概率统计起源与发展的影响正态分布对概率统计起

7、源与发展的影响摘要：摘要：正态分布在概率统计中占有特别重要的地位，是许多统计方法的理论基础。本文通过梳理正态分布的发现和改进的历史过程，阐述其对概率统计起源于发展的影响，为现代数学史研究和数学教育提供借鉴意义。关键词关键词：概率统计；正态分布；发展历史；数学教育引言引言概率论是一门研究随机现象规律性的数学分支，数理统计研究怎样有效地收集、整理和分析随机性数据，并对所考察的问题进行推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议，可以说，统计比概率具有更广泛的应用性。概率论与统计学分别经历了不同阶段的发展，呈现出理论上由青涩到成熟、方法上由粗略到严密、应用上由单一到多向的发展规律。从历史上看

8、，概率论和统计学是一对姊妹学科：在时间上，二者的发展具有并行性和交织性；在理论上，二者互为渗透、影响并逐渐走向交融。概率论直接来源于赌博，其理论的深化推动了统计学的发展；而统计事业的萌芽又为概率论提供了新的现实模型，拓展了其研究和应用的范围。正态分布由于其强大的普适性，是概率论中最重要的一种连续型分布。例如，在生产条件不变的情况下产品的强力、抚压、强度、口径长度等指标；一种生物体的身长、体重等；同一种种子的重量；弹着点沿某一方向的偏差等都可以认为是服从正态分布。研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量。正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究

9、最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位。从形式上看，正态分布属于概率论的范围，但同时又是统计学的基石，因此它的提出和应用具有其独特的双重理论背景和重要价值。正态分布从提出时的不受重视到之后在统计学中大行其道的历史过程，完美地展示了概率论与统计学在发展的不同阶段相关理论间的相互影响，成为相关研究的一个理论典范。一、正态曲线在概率论中的提出1713 年，伯努利遗著猜度术出版，其中提出了研究大量重复的随机现象中出现的必然规律 伯努利定理，这是概率论中的经典定理之一。经过反复试验，他证明了1在一定范围内存在稳定的概率，但并没有揭示这种偶然现象的背后的实质内容和规律。而后，狄莫弗在研究伯努利提

10、出的问题时得出了二项分布，正是在寻求二项分布的渐进公式时，发现了正态分布的密度函数。这是对正态分布最早的发现。在 1733 年 11 月 12 日，他第一次以文字的形式把这个公式写在论文中，后来又发表在机会的学说的第二版和第三版以及分析杂论的某些版本中。但是狄莫弗关于二项分布近似服从正态分布这一发现并没有引起人们的注意，卡尔-皮尔逊在编写正态曲线史时重新提到狄莫弗的工作，人们这才认识到狄莫弗的贡献。狄莫弗的这项工作具有重要意义，正如他所指出的，尽管机会具有不规则性，由于机会无限多，随着时间的推移，不规则性与秩序相比将显得微不足道。刚开始，正态分布的密度函数并没有纳入到概率分布的行列。一直到 1

11、8 世纪末，正态分布仍未取得它后来的重要地位，而只是作为二项分布的近似表示，所涉及的统计数据分析问题也主要与二项分布模型有关。就正态分布的提出过程而言，它主要受到了来自概率论的影响，首先，狄莫弗的工作是解决某类赌博问题的直接结果，这与概率论的产生和发展是一脉相承的；其次，狄莫弗在做此工作之前只详细阅读过惠更斯的著作，这对他之后概率论方面的成就奠定了坚实的基础；最后，虽然狄莫弗做出了与雅各布伯努利遥相辉映，并成奇葩的工作。正态分布理论的完善与中心极限定理、最小二乘法等理论的工作相辅相成，互为促进，激发了众多学者的兴奋点，他们纷纷把目光聚集过来，审视并完善这一理论，基本误差假设就是一个昭然若揭的范

12、例！然而，在相当长的时期内，误差论和统计学被看成是两个不相干的领域，其研究对象和研究方法具有本质的区别，这样正态分布就陆续进入了发展的双轨道。二、正态分布从误差论中的重生虽则狄莫弗早在 17301733 年间已从二项分布逼近的途径得到了正态密度函数的形式，但当时其身份还只是一个数学表达式而非概率分布。甚至到 1780 年拉普拉斯得到的一般中心极限定理的形式时，也还是这个情况。惟有高斯在 1809 年提出“正态误差”的理论后，它才取得“概率分布”的身份并因此而引起人们的重视，并随着魁特奈特高尔顿等人在社会经济和遗传学等领域的工作，将其应用由测量误差拓展到广大的领域。所以，溯本寻源，正态分布这条大

13、河的“正源” ，还要算是测量误差理论。2误差论的基本问题是：随机测量误差应服从怎样的概率规律，即有怎样的概率分布。这个问题的提出和讨论，是天文学者的功劳，正态分布的重新提出始终是围绕误差论基本问题的解决来做出重大突破的。天文学自古代至 18 世纪是应用数学中最发达的领域，观测和数学天文学，给出了建模及数据拟合的最初例子。正态分布的重生过程为此评论提供了一个典型的例子。天文学的问题使得人们最早关心使用算术平均的合理性问题，并从误差分布论的角度来进行考察。1809 年，德国大数学家高斯，在研究测量误差的概率分布时，提出正态误差理论，使狄莫弗在约 70 年前引进的那个函数首次取得了“概率分布”的身份

14、，为赢得人们的重视和普遍应用提供了可能。与此同时，与正态分布相关的一系列概率理论的完善，正态分布从天文学向社会学、生物学领域渗透的理论基础，概率论与统计学的交融发展尤其令人欣喜的是，高斯连同拉普拉斯、勒让德等人关于中心极限定理、最小二乘法等理论的工作与正态分布理论的完善相辅相成，互为促进，激发了测地学家、天文学家、物理学家等众多学者的兴奋点，他们纷纷把目光聚集过来，审视并完善这一理论，对正态分布的广泛应用奠定了良好的理论基础。此外，高斯对最小二乘法的误差分析，最初也源自拉普拉斯的考虑。1811 年，拉普拉斯考虑了可测量值为一维时参数的无偏估计，证明了当误差为正态时，利用方差尽量小原则和施瓦茨不

15、等式，可知或然误差最小的估计是最小二乘估计，以及若误差不服从正态分布但 n 很大时，可利用中心极限定理近似地得出相同结论。由此拉普拉斯表明当样本规模很大时，线性回归系数的一类线性无偏估计值是渐近正态分布的。总之，高斯对误差正态分布的提出，以及与之相伴的最小二乘法和中心极限定理一般形式的诞生，对后世的影响极大，这也使正态分布同时有了“高斯分布”名称。三、正态分布向近代统计学的引入 18 世纪所涉及的统计数据分析问题，主要与二项分布有关，狄莫弗引入的正态分布被人们生生地抛在脑后；到了 19 世纪初，拉普拉斯中心极限定理与高斯正态误差理论的问世，使这种情况逐渐出现转机，正态分布开始崭露头角，发挥其作为统计模型的优势，只是由于观测数据与统计数据不相容性的认识，使得它的影响仍受限于其发源地；而真正把正态分布的舞台拓展出去的当属凯特莱，他首次强调了正态分布的用途，并将以它为基础的统计方法应用到天文学、数学、物理学、生物学、社会统计学及气象学等研究范围，在他的影响下，正态分布获得了普遍认可和广泛应用，以至有些学者认为 19 世纪是正态3分布在统计学中占统治地位的时代。凯特莱与正态曲线有关的工作分为两个方面：一是把误差理论应用到新的领域，二是“平均人”的概念。前者的灵感来源于人口普查，后者则是使统计方法获得广泛应用的理论基础。二者相