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1、计算力学课堂教学课件,2018年9月10日,中国矿业大学 xxx,2.3 广义坐标有限元法的一般格式,常见的单元类型：,2.3.1 选择单元位移函数的一般原则,（1）位移模式中的待定系数（广义坐标）个数，应与单元的结点位移数相等；,（2.2.1）,（2）位移模式中，常数项与一次项必须完备；,（3）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取完全的多项式，以提高单元的精度；如：,四次,Pascal 三角形,（4）当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考虑多项式应具有对称性，如：,4节点 矩形单元,2.3.2 广义坐标有限单元的一般格式,（1）以广义坐标 为待定参数，给出单元内位移分布 u ；,（2.
2、3.1）,对于二维问题：,对于3结点三角形单元：,2用单元结点位移,表示广义坐标,惯用的单元结点位移排列是,为便于求解广义坐标，可采用另一表示方法，如,（231）式中代入单元结点坐标得到,二维问题,用（232）式解出,3以单元结点位移ae 表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N将（233）式代入（23l）式,二维问题,将结点位移 改为一般排列顺序ae ，则有,4以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应变：,应力：由弹性变形产生的应力,当有初应力和初应变时，应力的一般式是,5用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程 系统总位能的离散形式,将（235）（237）式代入上式并将单元结点位移ae用
3、结构结点位移a表示， 即ae=Ga，（238）式即为,总位能的变分,得到有限元求解方程,其中,式（2312）是单元刚度矩阵的普遍公式 （239）式中的是作用在连续体边界上的力，包括作用在有关单元边界上的分布力和作用在结点上的集中力两部分。 为了方便起见可以将这两部分外载分开，将T作为分布面力，结点集中力用F表示，则载荷列阵P可以写作,PF 结点集中力列阵 （2314）式是计算单元等效结点载荷列阵的普遍公式。,6引入强制边界条件 7解方程得到结点位移 8进行需要的辅助计算 如利用（236）、（237）式计算单元应变和应力，也可按需要计算其他项目。,由上面过程可以看到： 13是假定位移模式、求解广
4、义坐标，最后得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限元的特征。 45是利用变分原理建立有限元格式的一般方法。这里用的是最小位能原理，建立以位移为基本场变量的有限元求解方程，求解平衡问题。 68是建立有限元方程后的一般解法和计算步骤。,广义坐标有限元可能产生的困难是： 当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1而使求解广义坐标成为不可能。 同时，当单元结点较多时，解广义坐标的过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标直接构造单元的插值函数，这样就可以避免求解广义坐标的过程，建立有限元的方程和求解只需从第4步开始。 本章第5节将结合矩形单元和高精度三角形单元讨论直接建立单元插值函数的方法，关于建立单元插值函
5、数更系统方法将在下一章中给出。,2.4 有限单元解的性质与收敛性,一. Ritz法的收敛准则,对连续介质问题，有泛函：,其中:,要求试函数必须满足：,完备的函数系列（完备性）,应满足连续性要求（协调性）,1）,2）,Ritz 法的收敛条件：,（1）近似函数 u 具有完备性,（2）试探函数 u 具有连续性,（取完全多项式）,（C0 类连续）,FEM 法与Ritz 法的区别：,Ritz 法在全域上假设近似函数 u，,FEM 法在单元上假设近似函数 u，,近似函数 u可以有多种类型。,近似函数 u一般都为简单多项式。,问题：,在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，FEM 法的解趋于精确解？,引例：,设一
6、标量场：,存在标量泛函：,假设泛函 中含有：,为非零的，,（2.4.3）,显然，仅当 pm 时，,各项都包含常数项，,意味着，当单元尺寸趋,各项趋于常数，即，,有限元法的近似解收敛于精确解。,于零时，,收敛条件1：,必须是m次以上的完备多项式；,收敛条件2：,仅可能在相邻单元边界上连续。,弹性力学问题中，有限元法的收敛准则：,准则1：,完备性要求,若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则未知函数至少是 m 次完全多项式。,p中含：,要求：,为 x、y、z 一次完全多项式,对于平面问题：,对于空间问题：,对于梁的弯曲问题？, 最高阶导数次数 m=1,弹性力学问题：,准则2：,协调性要求,
7、若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则要求未知函数在相邻单元交界面上须满足 Cm-1 类连续性，即保证交界面上未知函数 m1 阶的连续可导。,当单元的插值函数满足上述要求时，称这种单元是协调的。,对弹性力学问题，,泛函p中含有未知函数,故要求近似位移函数 u,对于3结点三角形单元：,满足协调条件,的最高阶导数为 1 阶，,在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续性。,总结：,同时满足完备性、协调性条件的单元称为协调单元,（3结点三角形单元为完备、协调单元）,完备、协调单元的解一定收敛于精确解。,不满足协调性条件的单元称为非协调单元,如：板壳问题中某些单元。,二. 在有限元法中，插值函数
8、（试函数）对应单元内，而不是全域。,插值函数一般选用多项式以满足其完备性要求,当单元尺寸,0 时，,精确值（即趋于常数）,这里插值函数至少应选用m次完备的多项式,位移模式必须能够反映单元的刚体位移。,位移包括两部分，一部分是变形引起的，另一部分是由于刚体位移引起的。,位移模式必须能够反映单元的常应变。,一部分与该单元中各点的位置坐标有关，是各点不同的，即变量应变。,另一部分与单元中各点的位置坐标无关。是各点相同的，即常量应变。,位移场应当能够反映连续弹性体系位移的连续性。,在单元内位移模式取坐标的单值连续函数，在公共边界上（单元间）具有相同的位移。,C0连续性要求，由于m=1 ，即要求m-1
9、阶连续，即场函数自身连续。,物理意义：位移场在单元交界面连续，否则单元交界面会引起无限大应变。（由此产生附加应变能）,很明显：3结点三角形有限元，满足上述二条件，是收敛的。但在实际计算中，因为是有限尺寸单元，所以存在离散误差。,（*）一般来讲位移元得到的是位移的下限解，所以连续体(无限多自由度) 离散,有限个自由度，刚性变大，位移变小。,2.4.2 收敛准则的物理意义,1. 完备性准则,要求位移函数为一次完全多项式,常数项：,一次项：, 反映刚体位移, 反映常应变,2. 协调性准则,要求位移函数在相邻单元边界上连续，避免在单元交界面产生无限大的应变能。,2.4.3 收敛速度与精度估计,三. 离
10、散误差估计,精确解可以在域内一点i 的某一邻域内泰勒展开：,如果：单元(特征尺寸h)内位移插值函数是p次完全多项式 , 则可局部拟合泰勒展开p阶.,x, y为h 量级，位移的误差约为,应力和应变（为位移的一阶导数）,则误差约为,，精度低于位移。,例： 3结点三角形单元,位移误差,应力误差（应变）,提高精度的方法：,(1) 单元尺寸变小,(2) 插值函数，完备的多项式次数提高。,由其他误差:,计算误差，包括截断误差，舍入误差.,提高精度的方法:,(1) 增长字长(双精度),(2) 选取有效的计算方法和合理的程序结构。,2.4.4 位移解的下限性质,位移有限元法基于最小位能原理：,由第1章讨论，可
11、知：,设有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵、结点位移向量为：,由最小位能原理，有,即：,由,即，精确解取近似解的下限。,位移解下限性质解释：,单元原是连续体的一部分，具有无限个自由度。假定单元的位移函数后，其自度数限制为只有以结点位移表示的有限个自由度，相当于对单元的变形施加了约束和限制，使单元的刚度较实际情况加强了，随之，整个连续体的刚度增加了，故求得的位移总体上小精确解。,2.5 矩形单元和高精度三角形单元,2.5.1 4 结点矩形单元,设:边长分别为2a 和2b。,取坐标原点在单元形心上，,x 、y轴分别平行两对对边。,2.5.1 4 结点矩形单元,1. 结点编号与单元结点位移向量,结点
12、编号：,逆时针转向为正,单元结点位移向量：, 8个自由度,（2.5.2）,2. 单元位移模式, 双线性位移模式,将结点的 x 方向位移与坐标代入,位移多项式：,位移模式是具有完全一次式，,非完全二次式。,因为它在x, y方向呈线形变化，,所以称之为双线形位移模式。,由此可解出：,其中：, 单元插值函数或形函数,（2.5.4）,令：,则有,（2.5.5）, 局部坐标表示的单元插值函数或形函数, 自然坐标或局部坐标,3. 自然坐标与插值函数,（1）自然（局部）坐标,由：,有：,（1）,（2）,矩形单元四边的方程为：,（3）,角点值（坐标）,一般情形，将自然坐标原点取在单元的重心上，整体坐标与自然坐
13、标的关系为：,（2.5.6）,（2）插值函数（形函数）Ni 的性质,（1）,（2）,（3）,角点值：,或：,令：,其中：,为它们在角点 i 处的值,则插值函数可表示为：,（2.5.7）,4. 单元位移 ae 的矩阵表示,（2.5.8）,其中：,（2.5.9）, 形函数矩阵,5. 单元应变与应力,（1）单元应变, 应变矩阵,（2.5.10）,（2.5.12）,（2）单元应力,（2.5.13）,其中：,说明：,矩形单元的应变、应力关于 x、y 线性分布,6. 单元刚度矩阵,按结点的分块矩阵形式：,（2.5.16）,其中：,（2.5.17）,注意：,平面应变问题：,（P67）,对于平面应力问题，应变
14、矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵的显式如（2518）式（2520）。,由应力矩阵（2514）式或（2519）式可见，矩形单元中的应力分量都不是常量。 正应力分量x的主项（即不与相乘的项）沿x方向按线性变化，而它的次要项（与相乘的项）沿x方向按线性变化。 正应力y 与此相反。 剪应力分量xy则沿x及y两个方向都呈线性变化。 这种一个方向为常量，另一方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。,矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线边界， 包括与坐标轴不平行的直线边界，因此直接应用受到限制。 解决上述问题的方法之一是采用矩形单元和三角形单元混合使用，如图213所示。 更为一般的方法是通过等参变换将局
15、部坐标内的矩形单元变换为总体坐标内的任意四边形（包括曲边四边形）的单元，这将在第4章中进行讨论。,7. 单元等效结点载荷矩阵,（1）体积力引起的：, 体力向量,（2）边界面力引起的：, 面力向量,（3）初始应力引起的：, 初应力向量,（4）初始应变引起的：, 初应变向量,8. 矩形单元插值函数构造,（1）插值函数构造的原则：,或：,（2）,（1）,角点值：,（2）插值函数构造的方法,将1点的坐标：,代入,由此可解得：,代入，得,又如：,将2点的坐标：,代入,由此可解得：,同理：,将3点的坐标：,代入,由此可解得：,将4点的坐标：,代入,由此可解得：,综合，得：,例：,8结点矩形单元插值函数的构造。,（1）4个角点：,将1点的坐标：,代入,由此可解得：,同理，可求得：,（2）4个中点：,将5点的坐标：,代入,由此可解得：,将6点的坐标：,代入,由此可解得：, 8结点矩形单元插值函数或形函数,（三次多项式）,单元位移分布函数为：,说明：,矩形单元的缺点：,对边界形状的适应差。,矩形单元的优点：,（1）插值函数（形函数）容易构造；,（2）单元矩阵 ke、Pe 积分求解方便。,2.5.2 高精度三角形单元,6节点 三角形单元,Pascal 三角形,1. 二次单元：,6节点三角形单元,其中： 4，5，6节点为三角形边的中点。,单元位移模式：,
