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1、 本科毕业论文本科毕业论文关于均值不等式的探讨关于均值不等式的探讨DISCUSSION ON INEQUALITY学院（部）： 理学院 专业班级： 数学与应用数学 07-1学生姓名： 指导教师： 讲师 2011 年 6 月 8 日安徽理工大学毕业论文关于均值不等式的探讨关于均值不等式的探讨摘要均值不等式是高二教材的一个教学内容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相关结果,用解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。关键词关键词 均值不等式，最值，应用均值不等式，最值，应用安徽理工大学毕业论文IDISCUSSION ON INEQUALITYABSTRACTI
2、nequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.KEYWORDS：inequality ，the mos
3、t value，the value of application安徽理工大学毕业论文目录关于均值不等式的探讨.IDISCUSSION ON INEQUALITYII1、浅谈均值不等式及类型11.1 浅谈均值不等式.11.1.1 均值不等式是攻破最值问题的有力武器11.1.2 均值不等式用于不等式的证明21.1.3 均值不等式的拓展及其相关结论21.1.4 均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入41.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”.51.3 运用均值不等式解题的变形技巧.81.4 利用均值不等式求最值的技巧.102均值不等式错例及“失效”时的对策152.1 均值不等
4、式应用错例分析.152.2 用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例172.3 均值不等式求最值“失效”时的对策193均值不等式的推广及应用243.1 均值不等式的推广2432 应用均值不等式的推广证不等式.293.3 均值不等式在高等数学中的应用333.4 均值不等式在一类数列收敛证明中的应用373.5 例说利用均值不等式解应用问题40参考文献42谢辞431、浅谈均值不等式及类型、浅谈均值不等式及类型1.1 浅谈均值不等式浅谈均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明,如果a、b是正数,那么 ab,当且仅当a = b时取“ = ”号。即两个正数的算术平均数
5、不小于它们的几何平a+b 2 均数。这个不等式,我们通常把它称为均值不等式。对均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其运用条件,便能在解题中快速找到突破口,进而找到正确解决问题的方法。1.1.1 均值不等式是攻破最值问题的有力武器均值不等式是攻破最值问题的有力武器对均值不等式认真观察分析知道,若两个正数的积为常数,当且仅当它们相等时,它们的和有最小值;若两个正数的和为常数,当且仅当它们相等时,它们的积有最大值。最值问题在此便略有体现。经研究后,归纳出3个用均值不等式求最值问题的适用条件。条件一:在所求最值的代数式中,各变数都是正数,否则变号转换;条件二:各变数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为
6、定值,否则执行拆项或添项变形;条件三:各变数必须有相等的可能。一个题目同时满足上述三个条件,或者可以变形成适合以上条件的,便可用均值不等式求,这就帮助学生在解题时迅速找到了突破口,从而找到正确方法,快速简易地求最值。下面举出一些实例。例1:代数式的最小值是_2 24 1xx解: =1=32 24 1xx2 24111xx 2 4故的最小值是3。2 24 1xx例2:若0 0, b 0, a + b = 1,求代数式的最小值11(1)(1)ab解:11(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()52 29ababbababa ababababab 故满足条件的代数式的最小值是9。例5:过点P (
7、2, 1)作直线L交X , Y轴正向于A, B 两点, 求L的方程,使三角形AOB 的面积最小。解:设直线L的方程为y - 1 = k ( x - 2) , L 与x轴交点为( a, 0) , L 与y轴交点为(0, b) ,其中a 0, b 0, k 0= 2,求的最小值,并求x, y的值。2x y2xyx解：22 2223333322222x yxyxyxy xyxyxxx当且仅当,即y = 2x时,上式取等号。故取最小值是3。2 2xyx2xyx由 解得即当x = 1, y = 2时, 取得最小值322 2x y yx 1 2x y 2xyx1.1.3. 2 研究均值不等式所得相关结果研
8、究均值不等式所得相关结果对a 0, b 0,作进一步研究,显然有,又由于等价的均值不等式2abab22abab22222ababaabbababab因此,对于a 0, b 0,有三个重要结论:222abababab ; 22abab2abab2 2abab当且仅当a = b时,上面三式取等号,这三个式子虽然是由均值不等式推广而得,但掌握并应用于解题之中,有时候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面举几个例子予以说明:例10:已知a0, b0, a + b = 1,求代数式的最大值2121ab 解:由得。21212 2121414 1 12 2ababab 故满足条件的最大值是。2121a
9、b 2 2安徽理工大学毕业论文3例11:已知a b 0,求的最小值。216 ()ab ab解:由式得, 2221664()22()babab abb aba所以,故的最小值是16。22 216642 6416()aab aba216 ()ab ab例12:若a + b + c = 1,且a, b, c ,求的最小值。R222222abbcca解:由式得 所以222 2abab222 2bcbc222 2caca=222222abbcca2 2abbcca 2例13:一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大的面积是多少?解:设矩形的长为x,则
10、宽为，于是,菜园面积为:2Lx2 2111 22222LxxLxSxx LxL当且仅当x =L - x,即时取等号。这时宽为故这个菜园的长为,宽为时,1 2xL1 12 24LL L 1 2L1 4L菜园面积最大,最大面积是21 8L1.1.4 均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认均值不等式的应用可以培养学生在数学学习中的兴趣和认知投入知投入本人在这个内容的教学中,引导学生思维,让学生自我发现并相互探讨,寻求以上例题的解法,直接或变形后运用均值不等式及其相关结果,学生感到很轻松,非常感兴趣,并能自觉或不自觉地用联系和理解的方法学习数学,不是依赖于死记硬背的方法,对完成学习任务有一
11、种愉快的感觉,学生在领会知识方面具有一定的独立性,能够举一反三,触类旁通,充分体现了学生在数学学习中的热情投入,这一良性循环,对今后的学习,对素质的培养,将具有深远的影响。总之,对均值不等式的学习研究,理解掌握和运用,对数学问题的解答,对实际生活和生产实际中应用数学问题的处理,对学生学习的能力和素质的培养,都具有极为重要的意义。安徽理工大学毕业论文41.2 试谈运用均值不等式的待定系数法试谈运用均值不等式的待定系数法“套路套路”不等式是高中数学的重要内容, 均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据, 在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”, 而且要善于根据均值不等式的结构特征,创设应用均值不
12、等式的条件,利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧, 本文举例说明.例1 已知常数a , b都是正数,变量x 满足0 0 ,则由1 = x + (1 - x) 及题设知0 0 , b 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.1abab解 设m 0 ,则由题设及均值不等式可知: (1)11121abmabm abmm ababab(1) 式当且仅当,即时取等号.又,即1mabab1abm1 22aba b01 4ab,亦即 (2)01 4ab显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:11 2abm a b 安徽理工大学毕业论文5.11172 161 1
13、68 158 15 ()44abababab 故当且仅当时, 取到最小值.1 2ab1abab17 4例3 若a,且a + b = 1. 求证: 11,22ab 21212 2ab 证明 设m 0 ,则.由均值不等式得12121222aam am .1()12 22ma ma (1)其中当且仅当时取等号.1 21222122ma am amm 1 2ma同理可得: (2)其中当且仅当时取等号.1 22212mb bm 1 2mb显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是.由于a + b = 1 , 故可解得1 21 2m am b 1 21a b m 将m = 1 代入(1) , (2)
14、,并将两式相加得即.111 ()1 ()22212122222ab ab 21212 2ab 例4 已知a 0 , b 0 ,且a + b = 1. 求证: .1125 4abab证明 设m 0 , 则由题设及均值不等式可得: (1)111221mmmmmaamaaaaaaa(1) 式当且仅当即 时取等号.maaam同理可得 (2)112mbmba(2) 式当且仅当即时取等号.mbbbm再由题设及均值不等式可得:. (3)1 22abab14ab安徽理工大学毕业论文6(3) 式当且仅当时取等号.1 2ab于是(1) , (2) , (3) 同时取等号的条件是. .1 2a bm am b 且1 4m将分别代入(1) 式, (2) 式可得.1 4m3310,104411 ababab 两式相乘得: 1133319111144416abaababaab . 31912112125 41616164ababab 故1125 4abab例5 (第42 届
