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1、l本科毕业论文本科毕业论文学 院 物理电子工程学院 专 业 物理学 年 级 2009 级 姓 名 论文题目 单摆的非线性振动 指导教师 职称 副教授 2013 年 05 月 07 日学号20095040046l目目 录录摘 要1Abstract11 引言.12 单摆的线性振动23 单摆的非线性振动33.1 任意角度时单摆的振动情况33.2 有阻尼单摆的振动43.3 考虑空气阻力时大角度单摆的运动54 确定系统中的内在随机性75 结论8参考文献81单摆的非线性振动单摆的非线性振动学生姓名： 学号：20095040046学院：物理电子工程学院 专业：物理学指导老师： 职称：副教授摘摘 要要：本文介
2、绍了单摆的线性与非线性振动规律，分析了单摆在大角度和阻尼下的运动，建立单摆的运动方程。运用泰勒级数展开，用大角近似，然后运sin用导数微分方法计算单摆的运动学方程，研究单摆的运动规律。同时又从单摆的非线性运动讨论了确定系统中的内在随机性。关键词关键词：单摆；线性振动；非线性振动The non-linearity vibration of single pendulum Abstract: This article describes the single pendulum linear and nonlinear vibration regulation, analysis of the mo
3、vement of the pendulum in the large-angle and damping, establishment the equation of motion for the pendulumUsing the Taylor series expansion，with large-angle approximation, and then use the derivative differential method pendulum kinematic equations to study the law of motion of the pendulumAt the
4、same time and from the non-linear motion of the pendulum discussed the inherent randomness of the determined system.Keywords: single pendulum; the linear vibration; nonlinear vibration1 引言引言单摆是用不可伸长的轻绳悬挂一小球（质点）构成的，如图1所示，将小球视为质点，它受重力与悬线拉力的作用，质点在沿铅直面内沿圆弧摆动，且摆动中相对悬线垂直位置的角位移很小。通过对小球做受力分析可知质点沿运动方向所受的力为：。
5、sinmgf 2图1 单摆单摆的振动是物理学中的一个重要问题。在大学物理的力学教学中都要研究单摆，解决单摆问题的关键是建立物理模型，而单摆模型是讨论和处理有关单摆运动必不可少的要素，尤其是对于单摆的运动周期。由于单摆或者类似单摆的运动都是在一定环境中进行，在运动的过程中或多或少会受到阻力的作用，而我们平常所看到的很多对单摆的研究都基于小角情况下的，因此具有一定的局限性。在小角情况下，一般在的情况下考虑，过于简单和理想化，而很多情况下单摆的摆角都5大于，单摆的运动也不再是最简单的简谐振动1。近年来，人们对非线性物理越5来越感兴趣。2 单摆的线性振动单摆的线性振动单摆如图 1 所示，若忽略空气阻力
6、，单摆的运动方程为-= （1）sinmglJ22dtd其中 J 为转动惯量，当单摆作微小振动是，摆角很小，取。sin则 +=022dtdJmgl将带入上式，得 2mlJ + （2）22dtd0lg3令，有2 0lg+ （3）22dtd02 0则（2）式的解为 。)cos(00其中：，为角频率，,为周期。lg0glT2（3）式与简谐振动的动力学方程形式一致。可见，单摆作微角振动时，为简谐振动，具有简谐振动的特征2。3 单摆的非线性振动单摆的非线性振动3.1 任意角度时单摆的振动情况任意角度时单摆的振动情况自由单摆的运动方程为+=0 （4）22dtdsinJmgl当摆角很小时，这时上式化简为简单的
7、线性方程，单摆的运动也sin就成为最简单的简谐振动3。但当摆角可以取到之间的任意值时，上式不再是线性方程，其所描述的运动也不再是简单的简谐振动。现令 （5）sinlg dtd上式两边同时乘以并积分得d（6）clgcos212设初始条件为：，则0t00（7）02 0cos21lgc将上式代入（6）式得（8）2 002)cos(cos2lg上式又可写为（9）2 0022)cos12cos2(2lg所以，当，且时，由上式得0004（10） 2cos2lg上式中的正负号表示，当摆锤从最高点以释放时，有两种可能的)(00运动状态，正号表示逆时针方向旋转，负号表示顺时针方向旋转。 类似地，当，时，由（9）
8、式得到00lg42 0(11)2cos0上式表明在，的初始条件下，单摆运动到最高点（）时,00lg42 0其后的运动也具有沿正反两个方向旋转的可能性。式（10）和（11）均说明，在确定的条件下，运动不再是唯一的，运动在状态空间出现了不同的分支，并且有一定的随机性4。3.2 有阻尼单摆的振动有阻尼单摆的振动在有阻尼的情况下，单摆的运动方程为（12）0sin22 0 式中为不存在阻尼是系统的固有频率，称为阻尼系数。该方程的解分三种0情况：1.欠阻尼状态当阻力很小，以致，由（12）式可求出单摆此时的运动方程为0（13）)cos(0tet其中22 0而周期，很显然，即弱阻尼情况下单摆振 22 022
9、T002 T0TT 动周期变长，如图 2（a）所示。上式说明，当阻尼不大时，系统仍做周期性振动，但振幅系统不再具有振动特性随时间按指数衰减6。2.过阻尼状态如阻力很大，以致，根据微分方程的理论可知（12）方程的解为05(14)ttecec)( 2)( 12 022 02其中和是由初始条件决定的常数。1c2c上式表明，随时间的推移单摆单调趋于平衡位置，单摆的振动不仅是非周期的，甚至不是往复的。所以过阻尼振动状态下，系统不可能发生振动，而是更为缓慢的逼近平衡位置，如图（2）b 所示。3.临界阻尼状态如阻尼界于前两者之间，且，此时，所以“周期”，即系统00不再具有振动特性，阻尼的作用使物体刚回到平衡
10、位置，速度即变为零，不可能在越过平衡位置而发生振动6，如图（2）c 所示。图 2 单摆阻尼运动三种情况的比较3.3 考虑空气阻力时大角度单摆的运动考虑空气阻力时大角度单摆的运动当考虑空气阻力及单摆运动的角度较大（） ，单摆在收受到阻力、900驱动力下由牛顿第二定理可知运动学方程为：)cos(sin22 0tF （15）公式（15）中为阻尼系数，；固有频率7m2lg2 0公式（15）在没有驱动力的情况下可以转化为：6（16）0sin22 0 在大角摆的情况下可以按级数展开8：sin8 （17）! 5! 3sin53当时，2645. 0! 33645. 00795. 0! 55，90795. 00
11、04665. 0! 77004665. 0! 99所以如果的取值范围在时，该级数是收敛的，我们后面的讨论也20是在的范围内进行的，这样可以省略（17）式 5 次方以上的项，得到：2（18）! 3sin3将（17）式代入（15）式中得：（19）0)6(232 0 已有文献得到在大角度和有阻尼时单摆的运动方程的解析式为：（20）)sin(0tet对（20）式求一阶和二阶导数8：（21）)cos()sin(00tetett10 （22）)sin()cos(2)sin(02 002tetetettt 式（22）中的,可知和的指数函数取右端的一部分，它们在00ttete30,1取值，故在误差范围内误差比
12、较小，可以近似得到：ttee3 （23）分别将（20）式和（23）式代入（17）式近似得到：6)(sin)sin(sin33 00tetett （24）又因为：（25）4)3sin()sin(3)(sin3ttt将（23）式代入（22）式进行近似得到：（26）8/ )sin()sin(sin3 00tetett7然后将（21） 、 （22）及（26）式一起代入（19）式可得到：（27）08)sin()sin()cos()sin(2)sin()cos(2)sin(3 002 00002 002tetetetetetetettttttt(27)式两边同时除以（20）式可得：（28）08/2 02
13、02 022整理（28）式可得：（29）8/2 02 022 0又由周期，可以得到在考虑空气阻力下大角度单摆的周期为：/2T11 （30）8/22 02 022 0T在理想情况下单摆的周期为：（31）00/2T在考虑空气阻力时大角度单摆的周期与理想情况下单摆的周期的比值为： T0T(32)8/1/2 02 02 0TT从公式（31）我们可以定性的分析此结果的正确性，理想情况下不考虑空气阻力，而我们考虑的是有空气阻力，且，这样我们得到的周期应该比理0505想情况下大，而，说明在考虑空气阻力，TTTT02 02 02 018/1/且时得到的周期应该比理想情况下大，这样正好证明了所得结果是正确的12。05同样当我们进一步考察一个受周期性驱动力作用的阻尼单摆时，则进一步发现：虽
