系统运动的稳定性分析课件

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1、第5章 控制系统的稳定性分析,5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 * 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用,稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。,1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；,稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。,线

2、性定常系统通常只有一个平衡点，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。,稳定性判别方法,经典控制理论中：,线性定常系统的稳定性：,代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。,非线性定常系统的稳定性：,描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能； 相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。,现代控制理论中：,一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。,李雅普诺夫稳定性理论：,李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定

3、性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。 1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法； 2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。,李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。,5.1 李雅普诺夫稳定性定义,BIBO稳定性的概念,李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。,Bounded Input Bounded Output (

4、BIBO) Stable,定义：对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。,如果输入 有界，是指 ,如果输入 有界，是指 ,4.6 有界输入-有界输出稳定,4.6.1 有界输入-有界输出稳定,Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable,定理4-5 由方程 描述的线性定常系统。,为初始松弛系统。其输出向量的解为,（11）,4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系,对于线性定常系统,（12）,平衡状态 的渐近稳定性由A

5、 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。,的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 处的渐近稳定。,那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。,1. 平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t ，状态 x 满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,2.平衡状态的求法由定义，平衡状态

6、将包含在 这样一个代数方程组中。对于线性定常系统 ，其平衡状态为 xe 应满足代数方程 。,只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。,5.1.1 平衡状态,李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。,对于非线性系统，方程 的解可能有多个，视系统方程而定。,如：,该系统存在三个平衡状态：,范数的定义：n 维状态空间中，向量 x 的长度称为向量 x 的范数，用 表示，则：,5.5.2 范数的概念,向量的距离:长度 称为向量x与xe的距离，写为：,若能使系统从任意初态x0出发的解 在t t0的过 程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径的闭球域 S()内，即：,定义：对于系统 ，设系统初始状态位于

7、以平衡状态 xe 为球心、为半径的闭球域 S()内，即,5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义,1李雅普诺夫意义下的稳定性,则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。,几何意义,按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。,Lyapunov意义下稳定,2渐进稳定性（经典理论稳定性）,定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量0，总有,这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与

8、渐进稳定性对应。,则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。,当t0与 t、 无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。,几何意义：,定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定的。此时，S()。当t时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。,3. 大范围渐进稳定性,对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。,当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。,大范围稳定的系统

9、,局部稳定的系统,几何意义：,定义：若对于某个实数0和任一实数0，不管这两个实数多么小，在S()内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S()，则称平衡状态xe是不稳定的。,4.不稳定性,几何意义：,对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S()以外的平衡点。当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。,由稳定性定义知，球域S() 限制着初始状态x0的取值，球域S()规定了系统自由运动响应 的边界。 简单地说：1.如果 有界，则称 xe 稳定； 2.如果 不仅有界，而且当t时收敛于原点，则

10、称 xe 渐进稳定； 3.如果 无界，则称 xe 不稳定。,5.2 李雅普诺夫稳定性理论,定理5.1线性定常系统（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A 的有些特征值具有正实部；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。,5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）,1.线性定常系统稳定性判据,例5.2.1设系统的状态空间表达式为：,试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO（输出）稳定性。,解：系统的特征方程为:,A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态 xe

11、 是不稳定的。,系统传递函数:,传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。,BIBO稳定,渐近稳定,结论：1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定 的；2.线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。,2.线性时变系统稳定性判据,矩阵A的范数定义为：,A为标量，表示A中每个元素取平方和后再开方。,3非线性系统的稳定性判定,对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的 线性化模型，用定理5.1的方法来研究。,其中：,对于非线性系统 ，对状态变量 x 有连续偏导数，设xe为其平衡点。在

12、平衡点处将 泰勒级数展开，忽略二次及二次以上的高阶导数项R(x)，得系统线性化模型： 。,(1) A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐进稳定的； (2)A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是不稳定的。 (3)A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性，系统的稳定性与被忽略的高次项R(x)有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。,定理5.3对于线性化后的系统矩阵,例5.2.2 已知非线性系统的,解：系统有2个平衡状态：xe1=0,0和xe2=1,1,在xe1=0,0处线性化，,A1阵的特征值为+1，-1。故系统在xe1处是不稳定的。,在xe2

13、=1,1处线性化，,A2阵的特征值为+j，-j，其实部为0，不能根据A来判断其稳定性。,试分析系统平衡状态的稳定性。,5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理,李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。,李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与 及t 有关，记为V(x,t)或V(x)。 V(x)是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用 或表示。李雅普诺夫第二法利用V 和 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断

14、，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。,对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。,5.2.3.1 预备知识1二次函数的定义及其表达式 定义：设 为n个变量，定义二次型标量函数为：,其中， ，则称P为实对称阵。,对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此，目前直接法仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。,例如：,显然，二次型V(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。, 二次型的标准型,只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：,2.标量函数V(x)的符号和性质,设: ,且在x=0处，V(x)0。对x0的任何向量。,V

15、(x)0，称V(x)为正定的。例如： V(x)0，称V(x)为负定的。例如： V(x)0，称V(x)为正半定的。例如： V(x)0，称V(x)为负半定的。例如：,设实对称矩阵P ：,正定:二次型函数V(x)为正定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式均大于零（正定），即:,即:,3.二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则),负定：二次型函数V(x)为负定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,即:,k为偶数,k为奇数,正半定：二次型函数V(x)为正半定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,负半定：二次型函数V(x)为负半定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,