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1、 的分太 第放生 54 “场论初步 让 曲线积 司玉六人分和曲面和分有着方TY Te象地表达有关的物理量，又 =能方便地使用数学工具进 三，行逐辑表达和数据计算, 使 | 四，允度声用了一些将殊的术语和记 | 五、管量场与有势场号，在此基础上产生 了 场论 |*击以上标题可直接前往对应内容 是3人 闪场的概念 若对全空间或其中某一区域耻中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应， 则称在 了上给定了一个数量场 (或向量场)，例如: 温度和密度都是数量场县 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点M 的位置丈由坐标确定. 因此给定了某个数量场就和 给定了一个数量函数玫(xyz
2、h) 在以下 讨论中 是设它对每个变量都有一阶连续偏导数，上 起i二二 向量函数4(xr,y,z)= PCz,y)z)7+CCEyZ)7+RRCz yzZ)天数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社后退 ”前进 ”目录 ”退出ISOGOIO)14 可上 | 二本 机并声“ 朋放“这刘声 攻刘5有%声 P相对应. 这里忆 Q,尺 为所定义区域上的数量函数，并假定它们有一阶连续偏导数，设 世为向量场中一条曲线. 若世上每点 M 处的切线方向都与向量函数 4 在该点的方向一致, 即dr dy dz0-R，则称曲线天为向量场和|的向量场线,例如电力线、磁力线等都是向量场线.注 场的性质是它本身的属
3、性, 和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.ER SISIGIG 2生生于和2六汪和着半二和 革2汪抽生生生梯度 场在第十七章 $ 3 中我们已经介绍了梯度的概念，它是由数量函数x(x,y,z) 所定义的向量函数而Cr Cxgradzx 是由数量场& 派生出来的一个向量场，称为梯度场. 由前文知道, grad zx 的方向就是使方向导数 ax/81达到最大值的方向, | grad zx| 就是在这个方方向上的方向导数.ER SISIGIG 54 场认初步 | 二的标念 樟庶汤深度场 放度场“ 管是场5有%场 因为数量场 wxz,y,z) 的等值
4、面 &xz,yz)=e 的法线ZX估， 包， 2 所以 gradz 恒与v 的等值面 正交.引进符号向量当把 它作为运算符号来看待时， 樟度可 写作gradx=Vz.注 V 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读作 “Nabla”.ER SISIGIG2生生于2六汪和着半二汪汪和和生和和梯度有以下一些用 Y 表示的基本性质:1 若 zy是数量函数,则 V(e+7=Vux+Vy .2.若凡是数量函数, 则VE:P)=xCVV)+(Vz)y .特别地有 VCGe2)=2x(VzD) .3.若r=(tzyz,D=OCt yz)，则dp=dr.Vp，4.若了= 0 ,=wcDt则Y
5、F=JGcOvua，5.若三= Foot 6=丰(zz)，则VF = 2 3 vu这此公式读者可和用定义条起凤让LN 龟日的加下 的3 本证 省例1 设质量为天 的质点位于原点, 质量为工的质点位于M(xz,yz), 记 r=|018|= e+六+2，试求二的梯度.解 Y(2=-人(二 引。若以六表示 OHM 上的单位向量，则有全它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力场是数量场 二 的梯度场, 因此常称 司 为引力势，数学分析 第二十二章 曲面积分 后 合 GO 高等教育出版社 2村2六汪和生生二和臣下散度场设 4(x,y,z
6、)= 已xz,y,z)i+Q(z,y,z)j+RCzyz)K为了上的一个向量场.ap 20，Drzyiz)=一+尝+一(zy,Z) 5“下 人为趟 的散度,这是由向量场 4派生出来的一个数量场, 也称散度场, 记作古人 2er 0 红设挛=(cosaw ， eosP， cos7)为曲面 $ 在各点的单位法向量,记 是 =产dS, 称为 8 的面积元素向量.于是ER SISIGIG 对上式时的三 枚证高斯公式可写成如下向量姑| aiv Ady =攻式:| 4.d5. ( 积分应用Ph值定理, 3Mf ” 并汤“旋度场“ 答昌场5S有3场 散度的物理意义 联系本章 $ 2中提到的, 流速为 了的不可压缩流体, 经过封闭曲面 8 的流量是|上 4.d5.于是CO)式表明 divXCOWM)是流量对体积站的变化率，并称它为元 在点 MX的流量密度.若divACM。) 0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这三点, 则称这上-点.开,为!*源”，若 div4(M)0, 说明流体在这一点 M。 被吸收, 则若在每一点都有div& = 0, 则称下为“无源场”，ER SISIGIG
