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1、1,数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总趋势(即有无极限). 而对于函数y=(x), 当考察它的变化总趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x, x -, x 0, x x0+, x x0- 等.,2.2函数的极限,如图,o,o,x,x,y,y,2,o,o,x,x,y,由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必要分情况考察.,一 x 时函数(x)的极限,1.直观描述：对函数(x), 当x取正值无限增大时(即x ), 如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当 x 时的极限.,3,由以上几例可看得出, 同一个函数的自
2、变量在不同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必要分情况考察.,一 x 时函数(x)的极限,1直观描述：对函数(x), 当x取正值无限增大时(即x ), 如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当x 时的极限.,结论1. 函数 y=1/x, y=arctan x, y=e-x 当 x 时, 以某个确定的常数为极限.而 y=ln x, y=ex, y=logax 却不会与常数任意接近.,4,注：函数y =(x)当 x 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形).,2.函数(“M”)定义 设函数(x),当xa时有定义.
3、对 使得当xM时,|(x)A| 恒成立. 则称函数(x)当 x 时以A为极限.记,则有,仿数列“N”定义有,5,及y =A+.则总存在区间(M,+) ,当 x 时, 以什么为极限?极限是否存在?,可作两条直线y=A,几何意义,o,x,y,A+,A,A,M,考虑,y=(x),当,时，对应的函数曲,线介于这两条直线之间,6,3.直观描述: 对函数 (x), 当x取负值而绝对值无限增大时(即x),如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当x 时的极限.,4.函数 (“M”)定义 设函数(x), 当xa时有定义. 使得当xM时,|(x)A|a时有定义. 对 使得当|x|M时, |(x)A| 恒
4、 成立. 则称函数(x)当 x 时以A为极限. 记为,又有,是否有,呢？,8,几何意义如右图.,o,x,y,A+,A,A,M,M,y=(x),例3 用“M ”定义证明,9,10,11,二. xx0 时函数(x)的极限,当x从大于1和小于1的方向趋于1即当 x 1时,函数(x)无限接近于1, 记为 f(x)1,o,x,y,1,1,y = x,(1,1),由前知 , (x)与1的接近程度可由|(x)1| 来刻划; 那么x与1的接近又怎样来刻划呢？,由|(x)1|= |x1|知,要使 |(x)1| , 只须 |x1|0,则有“ 当 x时，f(x) ”的精确描述:,12,1.精确定义(“”) 函数(x
5、), 在x0 的某邻域内(可去心)有定义.,恒有| (x) A | 成立.,则称函数(x)当 xx0 时以A为极限.记为,从而,13,几何意义,即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(x)介于这两条直线之间, 如下图.,o,x,y,A+,A,A,y=(x),可作两条直线 y = A及 y = A+.,则在x轴上总存在以 x为心, 为半径的去心,邻域,14,例4 用“”定义证明(关键由|(x)A| 解出0|x-x0|g(）, 得到 ),15,只须,恒有,例4的(3)的证明,由于当x=1时,要使|(x)A| 即,无定义,则当 x1 时,成立.即,即可.故可取= /2.,16,注：此例中函数虽在x
6、=1处无定义,但 x时极限 却存在.这说明函数在 x0点的极限是否存在与函数 在 x0 处有无定义无关.这是因为函数在 x0点的极限 是函数在 x0 附近的变化趋势, 而不是在 x0处函数 值.这就是在定义中为啥假设(x)可在 x0 处无定义 的原因了.,17,中所讨论的xx0 即x可从 x0 的左右,如,三. 函数(x)的左、右极限,1.左极限的直观描述及精确定义(“”),当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0处的左极限. 记为,“”定义,则只能考察 x 从 0 的右侧趋于,0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.,两侧趋于x0 . 但
7、有时可考察 x 仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限.,18,2.右极限的直观描述及精确定义(“”),当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0 处的右极限. 记为,“”定义,左极限和右极限统称为单侧极限. 它们之间有如下关系:,定理2. 函数y = (x)当 xx0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = (x)的左极限和右极限都存在且等于A. 即,注：,19,此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法; 特别对分段函数适用.,例5.设(x)=|x| ,求,解 因,则,故,讨论下列函数当 x 时的极限.,o,x
8、,y,y =|x|,20,例6. y = x在 x1 时极限是否存在？,解 因,故,o,x,y,1,例7.,解 因,21,例8.,解 因,由于左右极限存在但不相等, 所以 f (x) 的极限 不存在.,22,四.函数极限的几个重要性质,为了叙述方便, 将(x)在 x或 xx0 时的极限 A 统一表述为: 对 总存在那么一个时刻, 在此 时刻以后, 就恒有| (x) A | , 并记为,定理3.(唯一性) 若lim (x) = A存在, 则极限值 A 唯一.,其证明同2.1的性质1.(略),lim (x) = A,注: 若不唯一, 变化趋势不定. 例,23,定理4.(有界性) 若 lim (x) = A存在, 则一定存在那么一个时刻, 在此时刻以后, (x)必定有界.,其理论证明(略).直观地可由几何意义(介于A及 y =A+之间)说明.,
