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1、几何非线性基础,第四章 - 附录,几何非线性基础 附录,大应变理论该附录中所包含的知识对于成功地使用 ANSYS 中的几何非线性不是必需的, 因此, 通常不在课程中讲解. 它作为附加的背景知识提供给那些希望更深入地理解 ANSYS 大位移特性的用户.,几何非线性基础 附录,将非线性应变定义推广到一般的三维情况 在二维和三维中, 当一个元件经历大应变变形时, 不仅长度改变, 厚度、面积和体积也改变.,几何非线性基础 附录,运动和变形 物体在外载荷的作用下会移动和变形.如果考察该物体上某一点的运动, 它的初始位置为 X , 最终位置为 x , 则位移量为 u , 并且,几何非线性基础 附录,变形梯
2、度 变形梯度是物体变形程度的度量, 定义为变形梯度 F 包含如下信息: 体积改变 转动 由于应变而引起的形状改变,几何非线性基础 附录, 变形梯度 注意由定义, 变形梯度 F 消除了平动因素; 是应变定义的必要条件. 当定义应变时, 还应排除转动部分 (因为它对应变没有贡献), 并提取形状改变部分. 这可以通过应用极分解定理 实现.,几何非线性基础 附录,极分解 变形梯度 F 可以用极分解定理分解为转动部分和变形部分: F = R U ,R = 转动矩阵, 包含材料点刚体转动的大小和方向信息.U = 拉伸矩阵, 包含材料点的物质变形信息.,几何非线性基础 附录,应变定义中 的U 知道了拉伸矩阵
3、 U , 对一维对数应变 el 和一维 Green-Lagrange应变 eG 进行推广, 可以构造出三维一般应变.,几何非线性基础 附录,Hencky应变 对数 (Hencky) 应变按下式计算:式中 eH 是按矩阵形式表示的应变张量. 在此情况下, eH 是一维对数应变 el 的三维等效.,几何非线性基础 附录,Green-Lagrange应变 在三维中, 可以按下式所示直接由拉伸矩阵 U 计算 Green-Lagrange 应变:该计算从应变场估算中直接忽略转动矩阵 R . eG 可以用位移场的梯度项重写为下式:前两项是线性小应变项, 最后一项是对应变度量的非线性贡献.,几何非线性基础
4、附录,将非线性应力定义推广到一般三维情况 与一维的情况一样,有对二维和三维中每一种非线性应变定义的共轭应力度量.,几何非线性基础 附录,Cauchy应力 Cauchy 或真实应力张量 t (此处写为矩阵形式) 给出变形构件中单位变形面积的当前力. 如果令那么, 在三维中, Cauchy应力张量 t 把 dP 与 dA 联系起来Cauchy 应力是容易解释的物理量.,= 定义变形体中单元面积分量的矢量= 作用的相应单元力,几何非线性基础 附录,第二 Piola-Kirchhoff 应力 令 代表由变换形式 推导出的力分量 还令第二 Piola-Kirchhoff 应力张量 S 把 和 联系起来S
5、 是对称应力张量, 常常用于有限应变弹性公式中, 是 Green-Lagrange 应变 eG 的共轭应力张量. S 是个非物理的应力张量 (一个伪应力张量). 不能直接对S 进行物理解释.,= 定义未变形体中单元面积的矢量, 这里,几何非线性基础 附录, 和 S 的关系 物理的 Cauchy t 应力可以通过下式直接与非物理的第二 Piola-Kirchhof f伪应力 S 联系起来 :,t,几何非线性基础 附录,完全一致非线性切向刚度矩阵 众所周知, 在大多数非线性结构问题中, 应用一致非线性切向刚度矩阵可以迅速提高基于 Newton-Raphson 求解过程的收敛速度. 一致的或完全的切
6、向刚度矩阵通常在迭代求解过程中产生二次方的收敛速度.,几何非线性基础 附录,何谓一致非线性刚度矩阵? 一致非线性刚度矩阵 通过对离散化的有限元方程求导得到, 同时它也是单元内力矢量 和单元施加的载荷矢量 的函数.,几何非线性基础 附录,离散化的非线性静态有限元方程 求解的离散化非线性静态有限元方程可以在单元层次上描述为:式中,= 单元总数 = 单元坐标系中的单元内力矢量= 转换矩阵将 变换到全局坐标系= 全局坐标系中, 在单元层次上施加的载荷矢量,几何非线性基础 附录,单元内力矢量 单元内力矢量 由下式给出,式中,= 单元应变 - 节点位移矩阵 = 单元应力矢量 = 单元体积,按照上面给出的内力定义, 离散化的非线性有限元方程 (力平衡) 可以重写为:,几何非线性基础 附录,推导增量非线性刚度矩阵 一致非线性刚度矩阵 通过对离散化的有限元方程求导获得,如下所示:,式中,几何非线性基础 附录,一致非线性刚度矩阵,= 主切向矩阵= 初始应力矩阵, 包括应力刚化 效应= 初始位移-转动矩阵, 包括刚度关系中几何形状变化效应.= 初始载荷矩阵, 包括刚度关系中载荷方向变化效应 (跟随力).,
