弹性力学课件

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1、第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的几个基本概念 1.3 弹性力学的基本假定,1.1 弹性力学的内容,1. 弹性体力学：简称弹性力学，有称弹性理论 （Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界 约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。,研究对象：弹性体,研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。,2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较,弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或改进它们的计算方法.,(1)研究对象：材料力学主要研究杆件在拉

2、压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移；结构力学研究杆系结构，如桁架、钢架或两者混合的构架等；弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。,(2)研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一定区别。,弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。,材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格。,一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论, 因此得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力解答的精

3、度是足够的, 符合工程的要求。,弹性力学:梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。,例如：,材料力学:研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。,这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。,结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果。,弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中

4、占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。,1.2 弹性力学中的几个基本概念,弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移,1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力,体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。,f : 极限矢量,即物体在P点所受体力的集度。方向就是F的极限方向。,fx , fy , fz：体力分量, 沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。,量纲：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2 即：L-2MT-2,面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。,量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2,沿坐标正

5、方向为正，沿坐标负方向为负。,符号规定:,内力：发生在物体内部的力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。,2. 应力：单位截面面积的内力.,p: 极限矢量,即物体在截面mn上的、在P点的应力。方向就是F的极限方向。,量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2,应力分量：，,PA=x, PB=y , PC=z,x, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向,正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。,负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向,负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。,正应力

6、符号规定与材力同，切应力与材力不相同。,符号规定:,（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）,连接前后两面中心的直线ab作为矩轴，列出力矩平衡方程，得,得:,同理可得:,切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相等,正符号也相同)。,可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得该点任意截面上的, .因此，此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。,用各部分的长度和角度来表示。,PA=x, PB=y , PC=z,线应变：单位长度的伸缩或相对伸缩,亦称正应变. 用 表示,切应变：各线段之间的直角的改变.用 表示,3. 形变：就是形状的改变

7、。, x: x方向的线段PA的线应变。,xy: y与x两方向的线段PB与PC之间的直角的改变。, : 伸长为正，缩短为负。,量纲：1,符号规定:, : 直角变小为正，变大为负。,可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态。,4. 位移：就是位置的移动。,任意一点的位移用它在x,y,z三轴上的投影u,v,w来表示.,量纲：L,符号规定:,沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负，,一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分

8、量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。,1.3 弹性力学中的基本假设,在弹性力学的问题里,通常是已知物体的边界(形状和大小), 物体的弹性常数, 物体所受的体力,物体边界上的约束情况或面力, 而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量.,一. 研究方法 1.考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。,建立微分方程：根据微分体的平衡条件 ； 建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的 几何关系； 建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系 。,2.在弹性体的边界上，建立边界条件。,应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件； 位移边界条件：在给

9、定的约束边界上，根据边界上 的约束条件。,求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。,为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。,二. 弹性力学的基本假定,(3)均匀性 假定物体是均匀的.,(1)连续性 假定物体是连续的.,(4)各向同性 假定物体是各向同性的.,符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.,(2)完全弹性 假定物体是完全弹性的.形变与引起变的应力成正比,即两者成线性关系.,(5)小变形假定 假定位移和形变是微小的.,它包含两个含义：, 假定应变

10、分量 1.,例如：普通梁中的正应变 10-3 1,切应变 1;, 假定物体的位移物体尺寸.,例如：梁中挠度 梁的高度,这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；,在建立几何方程时，由于 1，可以在同一方程中只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次幂，从而使几何方程成为线性方程。,例如：对于微小转角a，,对于微小正应变e，,这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。,第二章 平面问题的基本理论,2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.

11、4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程,2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数,2.1 平面应力问题与平面应变问题,如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。,一.第一种平面问题平面应力问题,因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续，有,由切应力互等定理：,只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即 x, y, xy= yx,所以这种问题称为平面应力问题。,1.设薄板的厚度为d, xy 为中面,z轴垂直于xy面.因为板面上,不受力

12、， 所以,2.由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化, 故x, y, xy 只是x,y的函数, ex, ey, gxy 也只是x,y的函数,但位移与z有关。,二.第二种平面问题平面应变问题,2.2 平衡微分方程,在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。,首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平衡微分体方程应力分量与体力分量之间的关系式。,从图示薄板或柱形体中，取出一个微小的正六面体，边长为dx, dy, 在z方向的尺寸取为1个单位尺寸。,一般而论 , 应力分量是位置坐标x和y的函数, 因此, 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同, 有微小

13、的差。,略去二阶及二阶以上的微量后得：,例：设作用于左面的正应力为x，则右面的正应力由于 x 坐标的改变而改变，可由泰勒展开得：,若x为常量, 则 , 左右两面都是x,即为均匀应力。,泰勒展开式,同理，设左面的切应力为xy，则 右面的切应力为,设上面的正应力及切应力为x, xy，则下面的正应力其切应力为,因六面体是微小的, 所以, 各面的应力可认为是均匀分布, 作用在对应面中心. 所受体力也可认为是均匀分布, 作用在对应面中心。,首先，以过中心C 并平行于z轴，列出,将上式除以dxdy, 得,令dx,dy 趋近于零，得,这正是切应力互等定理。,其次，以x轴为投影轴，列出,将上式除以dxdy,

14、得,同样，以y轴为投影轴，列出 可得一个相似的微分方程,于是得出应力分量与体力分量之间的关系式平面问题中的平衡微分方程。,这2个微分方程中包含3个未知函数x, y, xy=yx ,因此，决定应力分量的问题是超静定问题，必须考虑几何方程和物理学方面的条件，才能解决问题。,对于平面应变问题, 微分体一般还有作用于前后两面的正应力z, 但不影响上述方程的建立, 上述方程对于两种平面问题同样适用。,2.3 平面问题中一点的应力状态,应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。,假定已知任意点P处坐标面的应力分量x, y, xy=yx ,求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力。,用n代表斜截面AB

15、的外法线方向，其方向余弦为,设AB=ds, 则 PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2,设垂直于平面的尺寸为1。,由 得,其中 fx 为x方向得体力分量。,将上式除以ds, 然后命ds 趋于0（AB0）得,同理由 得,一.求任意斜截面上的正应力 n 和 切应力 n,令斜截面得正应力为n, 切应力为n.,由px, py 投影得,可见，已知点P处的应力分量x, y, xy=yx ,就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力 n 和 切应力 n 。,二.求主应力及主应力的方位应力主向,应力主面上 = 0， = p,投影得,代入,得,由上两式分别解出 m / l , 得,于是，有,解得,易得,下面求主应力方向,即得,即得,设1与x轴的夹角为1,设2与x轴的夹角为2,由,得,于是有,就是说，1, 2 的方向互相垂直。,从材料力学知识我们知道,与应力主向成450的斜面上。,2.4 几何方程 刚体位移,同理PB的线应变：,PA的线应变：,一.几何方程：任一点的微分线段上的形变分量与位移 分量之间的关系式。,设,同理PB的转角：,PA与PB之间的转角：,PA的转角：,几何方程：,上列几何方程对两种平面问题同样适用。,二.形变与位移之间的关系,