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1、1,10.2 一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式为,一阶方程的初值问题的数学模型为,根据方程本身的特点，一阶方程又可分为：,一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题.,2,一. 变量可分离的方程,形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程,称为变量已分,离的方程.,形如 y= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离的,方程.,设 g(y) 0, 则方程 可写成变量已分离的方程,若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得,就为变量可分离方程的通解.,其中c为任意常数.,3,例2 求方程 y= 2xy 的
2、通解.,解 分离变量, 得,两边积分，得,于是原方程的通解为,例3 求方程,的特解.,满足初始条件,解 分离变量, 得,两边积分，得,于是原方程的通解为,4,又将初始条件,故满足初始条件的特解为,代入通解中, 得,例4 已知需求价格弹性为 = -1/Q2, 且当 Q = 0 时,p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q).,解 由需求价格弹性的定义, 有,这是变量可分离的方程,移项化简，得,两边积分,得,5,即,又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100,故需求函数为,二. 可化为变量可分离的方程,1. 齐次方程,的一阶方程，称为齐次微分
3、方程, 简称,形如,齐次方程.,引入新的变换,就可将齐次方程化为变量可分离的方程.,6,分离变量, 得,若 u- f(u)0, 两端积分, 得,于是, 得,将变量还原, 便可得原方程的通解.,例5 求方程,的通解.,解 令,代入原方程, 得,则得,7,分离变量, 得,两端积分, 得,例6 求方程,的通解.,解 将方程恒等变形,则得,8,代入原方程, 得,分离变量, 得,两端积分, 得,9,三. 一阶线性微分方程,形如 y+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程.,若 q(x) = 0 , 则称方程 y+ p(x)y = 0,为一阶齐次线性微分方程,若 q(x) 0 , 则称方程
4、 y+ p(x)y = q(x),为一阶非齐次线性微分方程.,1.一阶齐次线性微分方程的通解,方程 y+ p(x)y = 0,是变量可分离的方程, 其通解为,其中c为任意常数.,10,2.一阶非齐次线性微分方程的通解,的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数.,将 y与y代入方程 y+ p(x)y = q(x), 并整理, 得,一阶非齐次线性微分方程 y+ p(x)y = q(x)是齐次方程,的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如,两端积分, 得,11,于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为,注1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的
5、一个 特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质.,注2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为 待定函数c(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x),从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易 法”. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.,12,例7 求方程,解 将方程改写为,的通解.,先求齐方程,的通解,分离变量, 得,两端积分并整理, 得齐方程的通解,用常数变易法求非齐次线性方程的通解,13,故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2,将 y与y代入方程, 并整理, 得,两端积分, 得,例8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx
6、 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = / 2 的特解.,解 将方程改写为,所以由非齐次线性方程的通解公式, 得,14,将初始条件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1,故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy),15,3.贝努里方程,(n0,1)的方程称为贝努里方程.,这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的 方法，就可将其化为一阶线性方程.,事实上, 在方程的两端同除以 , 得,形如,利用微分的性质 , 方程也可写成,16,求出此方程的通解，并将变量代回 ，便可得 到贝努里方程的通解.,例9 求方程 y= xy + x3y2 的通解.,解 将方程改写为,所以由非齐次线性方程的通解公式, 得,17,18,*例10 设可微函数 f(x) 满足,解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导, 得,求 f(x).,这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1,令 y = f(x) ，得,所以由非齐次线性方程的通解公式, 得,19,
