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1、第三章 离散傅立叶变换 (Discrete Fourier Transform ),离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法。时域T和频域皆离散的一种变换。Fast Fourier Transform ,FFT是DFT的一种计算机算法实现。,本章要点,本章内容,一.引言 二.周期序列的离散傅立叶级数 三.离散傅立叶变换 四.频域采样定理 五.利用DFT对连续时间信号的逼近 六.抽取和插值,DFT是分析有限长序列的有用工具，它既是理论分析的重点，也是实际运算的核心，在本质上，有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一
2、样的。 DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法，时域和频域皆离散的变换。 FFT算法是DFT变换的计算机算法实现。,一、引言,DFT要解决两个问题： 时域频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化 快速运算(FFT),当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时，形成不同形式的傅立叶变换对。,连续时间非周期信号的傅立叶变换为,傅立叶变换,傅立叶级数,当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数,对离散序列x(n)，其傅立叶变换为,若x(n)是信号x(t)的采样序列，采样间隔为T,则有：,序列的傅立叶变换,上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。,时域的离散造成频域的延
3、拓（周期性）。因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。,离散傅立叶变换,对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化， 令 从而,四种形式归纳,清议2009-11-01 ：向钱学森学习科学法则:28年前(注：1981年)，当我还是个懵懵懂懂的学生时，曾斗胆向内心崇敬的钱学森教授邮寄过一篇探讨系统科学应用于农业经济的万言文，恳求老先生百忙中拨冗赐教。没想到，一个多月后的一天，我居然收到了钱学森教授字迹工整、笔划略微颤抖的亲笔回信。当时的心情格外激动。28年后，当得知钱学森教授已驾鹤西去的消息时，我在沉痛悼念老先生一生科学救国、功勋万代之余，因当年承蒙教诲而感慨万千。“任何学科的研究对象都是十分特定的
4、”。这句话，是我从钱学森教授那封亲笔回信中感悟最深的。虽然经济学在方法论上无法与物理学相比，但这句话被我一直当作研究经济问题必须遵循的科学法则。 打那以后，我渐渐深信，能够被冠以科学的学问，一定是杜绝了任何形式的空泛，对研究对象或问题本质的把握恰如其分，容不得丝毫马虎。王大麻子2009-11-01:一个人拥有知识和爱国情怀之后，拥有良知最重要。正是那些有良知的思想家和科学家，使人类的星空灿烂无比，使人类能够达到更高的道德高度。,对一个周期为N点的周期序列显然 （周期循环，永不衰减）周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。,类似连续时间信号的傅立叶级数分析，我们有序列的离散傅立叶级数。,二、离散傅立
5、叶级数（DFS）,对周期为N的复指数序列e(n) 基频序列： K次谐波： 对集合,即集合有且仅有N个的独立变量。,且具有正交性：,周期复指数序列,因而X(n)可表示为：,*当且仅当k=r时值为N。,故,显然,即：离散周期序列的离散傅立叶级数(DFS)在频域是仍然为一个离散的周期序列。,记旋转因子：,可得离散傅立叶级数变换对：,周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换，然后在Z平面单位圆上等间隔2 /N采样得到的：,对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可以“窥一斑而知全貌”。,对周期序列，在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况。并且可用DFS来加以分析。对长度为N的有限
6、长序列x(n)，可以视作是周期为N的周期序列，从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。有限长序列的傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT (Discrete Fourier Transform),三、离散傅立叶变换DFT,余数运算表达式,若： m为整数；则：上式表示（n模N），即“n对N取余数”。n1是余数运算表达式的解，为n对N的余数。,一般：称 为“主值区间”。,定 义,对有限长序列x(n)，构造其周期延拓序列,将DFS的求和限于主值区间，得到了有限长序列x(n)的离散傅立叶变换DFT。,其中：x(n)为时域有限长序列，n是时间t的离散，X(k)是频域有限长序列，k是数字频率的离散,有限长序
7、列的DFT变换对用一个公式描述了两个序列(N点)之间的相互关系，是同一个信号在不同变换域中的体现，二者信息等量，互为一一确定。,DFT的性质,设：N点有限长序列x1(n)和x2(n)有：,1、DFT的线性,说明： 1)当有限长序列x1(n)和x2(n)的长度皆为N点，则结果也在主值区间有效。 2)当二者不等时，短序列补零对齐。,定义有限长序列x(n)的移位序列y(n)为：即,利用时频域的对偶性,2、圆周移位,周期延拓,左移2,有限长序列的移位只观察n=0到N-1这一主值区间的情况，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的序列值又从此区间的另一端进来。如果把 排列在一个N等分的圆周上，序列的移
8、位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周旋转观察时，看到就是周期序列 。,3、共轭对称性,证,设有限长N点序列x(n),对实部：,称 Xep(k)为X(k)的共轭偶部(圆周共轭对称分量)。,圆周共轭对称,对虚部同理可证：称Xop(k)为X(k)的共轭奇部(圆周共轭反对称分量)。,圆周共轭反对称,几种特例,1)当x(n)为实序列时，X(k)=Xep(k)有：2)当x(n)为纯虚序列时，X(k)=Xop(k),利用对称性只需计算X(0)X(N/2-1)的值即可。,3)当x1(n)和x2(n)都是N点实序列时，构造新序列：则：,因此，通过一次N点DFT运算完成了两个N点序列的DFT计算。,4
9、、DFT形式下的帕塞瓦定理,证明:,当x (n)y(n),即序列x(n)在时域计算的能量与频域计算的能量相等。,5、圆周卷积,设 x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且：若： 则：,圆周卷积可看作延拓序列周期卷积后取主值区间而得,图解,结果：,在圆周上的操作图示如下：,6、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,离散线性系统输出响应(线性卷积),可用圆周卷积代替线性卷积，减小运算量。,当x1(n)和x2(n)为有限长序列，其长度为：,对x1(n),x2(n)构造新序列，长度为L，两序列补零对齐,圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。,为了不发生混叠，用圆周卷积代替线性卷积必须满足条件
10、：,通常情况下，DFT可用FFT实现，而H(k)可离线计算好，上述算法比直接计算线性卷积快。,其他,DFT的主要性质可参见教材 Page110,Table3-3：DFT的性质。,四、频域采样定理,时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据采样定理对其进行采样,所得采样序列的频谱是原带限连续信号频谱的周期延拓,主要满足奈奎斯特采样定理，采样信号的频谱不发生混叠，可完全不失真由采样序列恢复原信号。 频域抽样: 对有限长序列进行DFT所得X(k) 是序列傅氏变换的采样，故DFT就是频域抽样。这种频域采样的采样需要满足怎样的条件？是如何恢复连续频谱的？如何才能不失真的恢复呢？,对X(z)在单位圆等距采样有
11、：当k取整数时，显然由于 ， 是一个周期为N的周期序列。,对绝对可和的序列x(n)，收敛域包括单位圆。,通过这样的周期序列能否恢复出原序列 x(n)？,采样Z变换,对 取IDFS有：,即：X(z)单位圆上等距采样点的反变换 是非周期信号x(n)以N为周期的延拓，时域序列延拓周期长度N对应了频域的采样点数。,可见：时域采样导致频域周期延拓。频域采样导致时域周期延拓。,讨论: 1) x(n)为无限长序列：不管如何采样，频域采样点数N为有限长， 将以周期N延拓，必然造成时域的混叠，不可能无失真恢复出时域信号。,2) x(n)为有限长M点序列：当频域采样点数NM时， 以N点周期延拓，必然造成混叠。,3
12、)有限长M点序列，频域采样不失真的条件是频域采样点数NM，从而：,5)对有限长序列，当NM时，N点频域采样X(k)可不失真恢复x(n)，从而也一定能不失真恢复X(z)和X(j),4)点数为N的有限长序列可用Z变换在单位圆上的N个均分点的采样值精确表示。,对有限长N点序列x(n)：存在如下DFT对：,频域采样恢复,对原序列x(n)进行Z变换有：,定义内插公式：,将内插函数写成如下式:故：零极对消有：,内插函数仅在本采样点k处不 为零,其他(N-1)个采样点均为零。,内插函数的特性,频响特性,单位圆上的z变换即为频响, 代入其中：,可见： 是 和k的函数,令：从而有：,续1,显然：,即：在每个采样
13、点上， 精确的等于X(k)，而采样点之间的值由加权插值函数叠加而成。,图示,参见书Page114 图3-13：插值函数的幅度特性和相位特性。 图3-14：由内插函数求得 的示意图。,有限长N的序列x(n)的Z变换由单位圆上的N个独立采样值唯一确定。Z变换的两种表现形式：,总 结,当x(n)为线性时不变系统的单位冲激响应h(n)时：即H(z)可看做是由N个采样带通滤波器并联构成。,总 结,对连续信号，能用解析式精确表达其频谱信息。而实际应用中，信号受各种环境噪声或异常事件影响，不能明确知道信号的数学解析表达式，只能作数值分析。,利用计算机用DFT对包罗万象的信号进行分析和合成是当前主要的应用方法
14、。,五、利用DFT对连续时间信号的逼近（选讲）,图例1,%Matlab程序 clear;clc； N=32; n=0:N-1; x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*sin(3*n*2*pi/N); y=fft(x); subplot(2,1,1); plot(x); hold on; stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(y),图例2,%Matlab程序 clear;clc； N=32; n=0:2*N-1; x=1.0*sin(1*n*2*pi/N)+0.1*sin(2*n*2*pi/N)+0.3*sin(
15、3*n*2*pi/N); y=fft(x); subplot(2,1,1); plot(x); hold on; stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(y),图例3,%Matlab程序 clear; N=32; n=0:N-1; x=power(0.9,n); y=fft(x); subplot(2,1,1); plot(x); hold on; stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(y),续2,利用DFT对连续时间信号的逼近,利用DFT计算连续时间信号的几个问题,一.混叠现象 二.频率泄漏 三.栅样效应 四.频率分辨力,混叠现象,对连续信号xa(t)，采样频率fs，采样间隔Ts=1/fs,例,例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定以下参量：（1）最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。,解：,（a） 最小记录长度,
