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1、圓的方程,圓的標準方程,甚么樣的點集合叫做圓？,一、建立的標準方程,求圓心（a ,b ），半徑是r 的圓的方程。,如圖（），設M(x ,y )是圓上任意一點，根據定義，點到圓心的距離等於r ，所以圓就是集合 r ,點適合的條件可表示為,r ,平面上到定點距離等於定長的點的集合（軌跡）是 圓。定點就是圓心，定長就是半徑。,式兩邊平方，得,方程 就是圓心為C (a ,b ),半徑為r 的圓的方程，我 們把它叫做圓的標準方程。,特别的，如果圓心在原點，這時 ，那麼圓的方程是,二、圓的標準方程的應用,例1 寫出下列各圓的方程： 圓心在原點，半徑是； 圓心在點 ，半徑是 ； 經過點 ，圓心在點 。,答：
2、,點評：中，可先用两點距離公式求圓的半徑，或設，用待定系数法求解。,例 說出下列圓的圓心坐標和半徑長,解：圓与直線 相切，,圓的方程为,圓心 到 的距离,例 求以 為圓心，并且和直線 相切的圓的方程。,例4 已知圓O的方程為 ,判斷下面的點在 圓內、圓上、還是圓外？,解： ，點 在圓上；, ，點 在圓内；, ，點 在圓外。,解：如圖，設切線的斜率 , 半徑OM的斜率為 ，因為圓的 切線垂直於過切點的半徑，於是,經過點M的切線方程是,整理，得,當點在坐標軸上時，可以驗証上面的方程同樣適 用。,思考是否可以用平面幾何的知識求此切線方程。,例6 已知圓的方程是 ，求經過圓上一點 的切線的方程。,小結
3、： 在 上時，過 的切線为 ；, 在 上時，過 圓的切線方程為,圓的切線方程式與切線段長,1.過圓上一點的切線方程式(恰有一條) 2.過圓外一點的切線方程式(必有二條) 3.已知斜率 m 的切線方程式(必有二條),過圓上一點的切線方程式,1. 過圓C：(xh)2+(yk)2=r2上一點P1(x1,y1)的 切線方程式為(x1h)(xh)+( y1k)( yk)=r2 2. 過圓C：x2+y2+dx+ey+f =0上一點P1(x1,y1) 的切線方程式為x1x+y1y+d +e +f =0,實例,試求過圓 上一點 的切線方程。,解：因為 為圓 上的點，故得切線方程式為,即,整理得,實例,試求通過
4、 ，且與圓 相切 的直線方程式。,解：因為 在圓 上由切線公式得,化簡得,過圓外一點的切線方程式 (必有兩條),設 在圓 外，且 為 過點 的切線。其求法如下：,(1) 設 為切線 的斜率，由點斜式可設 的方程為即,(2) 由圓心 到切線 的距離等於半徑 ，,可得,利用上式，求出斜率,圖示切線情形,若 有二解，則得二切線，如圖I所示。 若 只有一解，則另一切線的斜率不存在，方程式為 ，如圖II所示。,(3),實例,試求通過(5,5)，且與圓 相切 之直線方程式。,解：設所求的切線方程式為即,由圓心(0,0)到切線的距離等於半徑,可得,實例,試求通過(5,5)，且與圓 相切 之直線方程式。,去分
5、母，得 兩邊平方，得 化簡得 即 ，得 或 因此，所求的切線有兩條，其方程式為與得 與,實例,試求過(4,3)，且與圓 相切的直 線方程式。,解：設所求的切線方程式為即,由圓心(2,0)到切線的距離等於半徑2，,可得,實例,試求過(4,3)，且與圓 相切的直 線方程式。,去分母，得 兩邊平方，得 即故所求的切線方程為得 與 (斜率不存在),已知斜率 m 的切線方程式(必有二條),因為切線斜率為 ，所以可設切線 方程式為 ，利用圓心 到切線 的距離等於半徑 ，可求 出 。,實例,試求斜率為2，且與圓 相切的直線 方程式。,解：設切線方程式為即,故得切線方程式為,因為圓心 ，半徑,所以 ，得即,圓
6、的一般方程,圓的標準方程的形式是怎樣的？,其中圓心的坐標和半徑各是什麼？,複習回歸:,思考： 下列方程表示什么圖形？,（1）x2+y2-2x+4y-4=0,（2）x2+y2-2x+4y+5=0,（3）x2+y2-2x+4y+6=0,二、匯入新課 1、想一想，若把圓的標準方程展開後，會得出怎樣的形式？,由於a,b,r均為常數,結論任何一個圓方程可以寫成下面形式,探究是不是任何一個形如方程表示的曲線是圓呢？,x2 y 2DxEyF0,x2 y 2DxEyF0,配方可得：,（3）當D2+E2-4F0時，方程（1）無實数解，所以不表示任何圖形。,（1）當D2+E2-4F0时，表示以（ ）为圓心，以(
7、) 為半徑的圓,（2）當D2+E2-4F=0時，方程只有一組解X=-D/2y=-E/2，表示一个點（ ）,探究,圓的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,圓的一般方程與標準方程的關係：,（D2+E2-4F0）,（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy這樣的二次項,（2）標準方程易於看出圓心與半徑,一般方程突出形式上的特點：,x2與y2系数相同并且不等於0；,圓的標準方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,應用練習: (1)已知圓 的 圓心坐標為(-2,3),半徑為4,則D,E,F分別等於,2.求下列各圓的半徑和圓心坐標. (1),圓心,半徑為 3,圓心,半徑為,例2求過三點A（0，0
8、），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，並求這個圓的半徑長和圓心坐標。,解設所求的圓的方程為,即圓心坐標為（4，-3）,r=5,A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圓上,例5、已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓 上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.,注用待定系數法求圓的方程的步驟 根據題意設出所求圓的方程為標準式或一般式。 根據條件列出關於，或，的方程。 解方程組，求出，或，的值，代入方程，就得到要求的方程,經驗累積,本節課用的數學方法和數學思想方法:,數學方法:,數學思想方法:,(求圓心和半徑).,(原則是不重複,不遺漏),配方法,( ) 問題轉化和分類討論的思想,
9、(待定系數法),( )方程的思想,( )數形結合的思想,圓的參數方程,圓心在(0,0),半徑為r的圓的參數方程為,為參數,圓心在(a,b),半徑為r的圓的參數方程為,為參數,習題,1 當曲線 與直線yk(x2)4有兩個相異 交點時，實數k的取值範圍是( ),A,B,C,D,2 求圓 上的點到xy20的最近、 最遠距離。,思路分析由於圓是一個對稱圖形，依其對稱性，圓上的點 到直線的最近之距為圓心到直線的最近距離減去半徑，將本 題轉化為圓心到直線距離的問題,解：由圓的方程,易知圓心坐標為(2，3)，半徑r2,(2，3)到直線xy20的距離為,解：設直線l的方程為xay30，則點,的坐標滿足方程組,
10、消去y得,4 求過P(5，3)，Q(0，6)兩點，且圓心在直線2x3y60 上的圓的方程,思路分析可依據不同的條件，選擇恰當的形式，但是要注意 圓的有關幾何性質的運用,解法1：設所求圓的方程為,故所求圓的方程為,解法2：設所求圓的方程為,則它的圓心是,由已知條件可得,故所求圓的方程為,思路分析求經過兩圓交點的圓，可利用圓系方程求解,解設所求圓的方程為,思路分析可以用直接法求解，所求圓的圓心在AB的垂直平分 線上，也在BC上便可以求出圓心坐標，再用兩點間的距離求 出半徑，最後寫出圓的方程,則所求方程為,思路分析可以先求出兩圓交點坐標，利用兩點間的距離 求之；亦可利用幾何法求,兩圓的方程相減得2x4y0，即x2y為公共弦所在直線方程,解方程組,弦長為,，,由兩圓的方程，得OA的方程為x2y0，,從而,於是,說明本例體現了求相交兩圓的公共弦長的兩種方法,
