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1、应力张量的概念及其应用,1。应力张量及其不变量 2。应变张量及其不变量 3。广义胡克定理,1。应力张量及其不变量,自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。,一、张量的概念,数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐 标系的选择，会使问题简单化或复杂化。,希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量 摆脱具体坐标系的影响。,1。应力张量及其不变量,已经学过的数学量：,标量：温度、密度、能量等,矢量：速度、加速度、位移、力等,在材料力学中学到的应力和应变的表示：,在三维空间，每维空间有三个分量， 一个要用九个分量表示。,1。应力张量及其不变量,引入张量：,0阶张量：301,1阶张量
2、：313,2阶张量：329,3阶张量：3327,应力和应变是二阶张量,二、一点的应力状态表示,1。应力张量及其不变量,用二阶张量在x, y, z 坐标系表示,或写成：,1。应力张量及其不变量,仍选用直角坐标系，坐标轴写成 x1, x2, x3,采用张量下标记号法：,应力张量为对称张量，有6个独立分量：,以lx , ly , lz 分别代表法线 n 的方向余弦。,以dA , dAx , dAy , dAz 分别代表 abc, obc, oac, oab 三角形的面积。,1。应力张量及其不变量,三、应力张量的不变量,设在 x1, x2, x3坐标系中，有一用法线单位矢量 n 表示的斜平面，n 的方
3、向余弦用l1, l2, l3 表示,用张量记号的求和约定：,斜面上的应力表示为：,1。应力张量及其不变量,若n是主应力方向，则斜面上只有正应力，其值 等于主应力，Sn与n重合。,以 l 表示主应力的值，它在坐标轴上的投影为：,将(3)式代入(1)式：,用张量记号表示(4)式：,1。应力张量及其不变量,引入记号d :,(4)式中方向余弦满足：,(4)式与(7)使，4个方程解4个未知数：l1, l2, l3, l,l1, l2, l3, 不全为零 的条件是(4)式的 系数行列式为零：,1。应力张量及其不变量,展开(8)式得到l的三次代数方程式：,其中：,原设l为一个主应力，可以证明方程(9)有3个
4、 实根，则是三个主应力，用s1, s2, s3 表示。,若用主应力表示J1, J2, J3 :,可以证明三个主方向是相互垂直的。,结论：,1. 三个主应力和代表主方向的三个空间角度 完全代表一点的应力状态。,2. 一点的主应力值是和坐标选择无关的。,3. 坐标变换时，应力分量 sij 变化，但主应 力不变。,4. 和主应力一样，J1, J2, J3 不随坐标系而 变化，称为应力张量的不变量。,2。应变张量及其不变量,应变的定义：,正应变：,切应变：,2。应变张量及其不变量,在直角坐标系 x1, x2, x3, 应变与位移的关系,切应变：,均为小变形下,正应变：,应变张量：（与应力张量一样，为二
5、阶张量）,应变张量为 二阶对称张量,主应变：可以表示为：e1, e2, e3,各向同性材料主应力方向和主应变方向一致,应变张量的不变量：,若用主应变表示I1, I2, I3 :,结论： 同学自己可以总结, 广义胡克定律，应变能密度,广义胡克定律成立的条件:,1. 弹性体，应力低于弹性极限。,2. 应变分量是应力分量的线性函数。,对于均质各向异性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有36个，其中21个是独立的。,对于均质正交异性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有12个，其中9个是独立的。,对于均质各向同性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有12个，其中2个是独立的。, 各向同性材料的广义胡克定律, 广
6、义胡克定律，应变能密度,1、横向变形与泊松比,-泊松比, 各向同性材料的广义胡克定律, 广义胡克定律，应变能密度,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法, 各向同性材料的广义胡克定律, 广义胡克定律，应变能密度, 各向同性材料的广义胡克定律, 广义胡克定律，应变能密度,3、三个弹性常数之间的关系, 各向同性材料的广义胡克定律, 广义胡克定律，应变能密度, 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度,1、微元应变能(Strain Energy), 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度,dW=, 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度,2、应变能密度(Strain-Energy Density), 应
7、变能密度, 广义胡克定律，应变能密度,3、体积改变能密度与形状改变能密度,+,令, 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度,: Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion,: Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume, 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度, 应变能密度, 广义胡克定律，应变能密度, 重要应用实例,承受内压薄壁容器任意点的应力状态, 重要应用实例, 重要应用实例, 重要应用实例, 重要应用实例, 结论与讨论,1、关于应力和应力状态的几点
8、重要结论,应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.,变形体力学 基 础, 怎样证明AA截 面上各点的应力状态 不会完全相同。,2、平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法, 论证AA截面上 必然存在切应力， 而且是非均匀分布 的；, 关于A点的应力状态有多种答案、请用 平衡的概念分析哪一种是正确的,3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应力状态问题, 怎样确定C点处的主应力,4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要, 请分析图示 4 种应力状态中，哪几种是等价的,5、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力一点处的最大切应力,6、正确应用广义胡克定律某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关, 承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚.,本 章 作 业,第一次 51， 53 ， 5452， 55 第二次 57，59 ， 514 ， 515,返回主目录,返回本章第一页,
