数学建模及其应用复习

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1、1 数学建模及其应用复习一、解答下列问题（一）问题背景：种群内个体有着极其相似性，四足野生动物为了保持运动的方便，过长的身长与过重的体重对它的生存和发展都是不利的，根据生物进化自然规律，我们可以假设动物的脊梁下陲度与身长比例是固定的。你能通过数学建模解决这类问题吗？即求出动物身长与体重的关系式。提问一：为了方便数学建模需要对四足动物形态作一定的简化，你的简化假设是什么？提问二：由弹性梁的知识知：23sdflb其中，f 表示动物体重; b 表示动物的脊梁下陲度;s 表示躯干的横截面积;d 表示躯干的横截面半径 ;l 表示躯干长度。lb与什么成正比：由和，可得4lf即体重与躯干长度的4 次方成正比

2、。 这样，野生动物管理人员，可以通过抽样测量部分动物，再根据统计理论估计出上述比例系数，最终得到经验公式，以后就能从躯干长度估计出动物的体重了。（二） 问题背景： 人口控制论是重要的国策，实现人口的科学控制首先是建立人口系统的数学模型。 我们假设仅考虑人口系统中人的出生、死亡因素， 不考虑人口迁移随情况，你能在不同假设情况下建立合理的数学模型来描述人口数量与时间变化的关系式吗？提问一： 首先，假定人口的增长率是常数。研究从时刻t 到 t+t内人口增量，请用等式表达人口增量：如果等式两边同除t，并令0t，则得微分方程：如果加上初始条件，人口模型的方程为：它的解为提问二： 如果考虑人口的增加，自然

3、资源、 环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。你对人口增长率应该如何假设：人口增长率r(x)，2 人口模型转化为：模型的解为rtmme xxxtx110请画出解的草图，并说明解函数的特性。（三）问题背景：在人口模型中考虑某年各个年龄的女性生育率、死亡率、性别比等影响，人口模型应该是离散变量，模型能用来作人口总数、各个人口指数、 人口的年龄分布等量的预测工作。请运用代数方法建立离散人口结构模型。提问一： 为了方便建立合理的数学模型，你打算作哪些模型假设：设txi表示第 t 年 i 岁人口数，令iut 表示第 t 年 i 岁人口的死亡率，请用txi表达出iut ：iut记

4、ibt 为第 t年 i岁的女性生育率， 即每位女性平均生育婴儿数，1i ，2i 为ikt为第 t 年 i 岁人口的女性比，则第t 年的出生人数为：tf记tu00为第 t 年婴儿死亡率，即第年出生但没有活到人口统计时刻的婴儿比例。tftxtftu000将tbi分解为thttbii其中thi是生育模式，是年龄为i 的女性的生育加权因子，用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足121iiiith利用 (6)式对 (5)式求和得到21iiiitbt3 记，tkthtdtutbiii00011引入向量、矩阵记号Tm210tx,tx,tx,txtxtAtB那么，txtBttxtAtx1这个向量形式的

5、一阶差分方程就是人口发展方程。当初始人口分布0x已知，又由统计资料确定了A(t) 、B(t)，并且给定了总和生育率t 以后，用这个方程不难预测人口的发展过程。（四）问题背景：某系一年级有3 个班共 100 名学生，其中甲班50 名，乙班30 名，丙班20 名。若年终奖学金有10 个名额，公平而又简单的名额分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三班分别占有5，3，2 个名额。一年后丙班有6 名学生转入甲乙两班，仍按比例（表中的 3 列）分配名额时出现了小数，在将取得整数的9 名分配完毕以后，三班同意剩下的1 名参照所谓惯例中小数最大获得，即最后一名额归属丙班，于是三班仍分别占有，名额。但是现

6、在假如总名额增加1 位，他们按照上述方法重新分配名额，计算结果见表6，7列。显然这个结果对丙班太不公平了，因为总名额增加1 位，而丙班却由2 位减为 1 位。表 11 按照比例并参照惯例的名额分配班别学生人数学生人数的比例（）10 个名额的分配11 个名额的分配比例分配的名额参照惯例的结果比例分配的名额参照惯例的结果甲53 53 5.3 5 5.83 6 乙33 33 3.3 3 3.63 4 丙14 14 1.4 2 1.54 1 总和100 100.0 10.0 10 11.00 11 问题出在哪 ?要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配名额的指标，并由此建立新的分配方法。提问一

7、： 假设只有A，B 两方公平分配名额的情况。设两方人数分别是p1 和 p2，占有名额分别是n1 和 n2，则两方每个名额代表的人数分别为和。提问二： 在什么情况下，分配是绝对公平的？哪一方是吃亏的？提问三： 如何定义对A 的相对不公平值？如何定义对B相对不公平值？提问四： 假设 A，B 两方已分别占有n1和 n2位，利用相对不公平值rA和 rB讨论，当总名额增加 1 位时，应该如何分配给A 还是 B？4 上述方法可以推广到有m 方分配名额的情况。设第i 方人数为pi，已占有ni个名额，i=1,2,m。当总名额增加1 位时，计算mi nnp Qiiii,2,1, )1(2应将这一位分给Q 值最大

8、的一方。这种名额分配方法称Q 值法。（五）问题背景：众所周知，桥梁、隧道、狭窄路段往往成为阻碍交通的“瓶颈”，在这些地方车辆拥挤、 车速很慢， 以致单位时间通过的车辆较少。另一方面， 交通空闲的路段车速固然很快， 但是由于车辆稀少，单位时间通过的车辆也不多。对于交通的规划和指挥者来说，如何安排和控制车辆的密度使得单位时间通过的车辆最多，自然是十分重要的课题，请建立数学模型来描述交通处平衡态时的车流量与车速的关系表达式。提问一： 假设车流的密度、速度和流量分别记作(x，t)、u(x， t)和 q(x，t)，则三者关系是：如果在面前的第j 1 车突然减速，即tv1jtvj，使车队偏离平衡状态，则他

9、将施加制动力，使第j 车也减速，并且当两车之间的速度差tvjtv1j越时，制动力也越。 相反，如果第 j 1 车加速，tv1j tvj，则他要施加驱动力，tv1jtvj越时，驱动力也越。此外，制动力（或驱动力）还与车流密度有关，当车流拥挤，即两车之间的距离较小时，为避免碰撞，制动力会较，而当车流稀疏时，制动力较。另一方面，按照牛顿第二定律，制动力（或驱动力）与第j 车的加速度成正比。如果假定司机从发现前面车辆速度变化到他施加制动力（或驱动力） 有一个反应时间，那么制动力（或驱动力）将与dttdvj)(成正比。提问二： 首先，利用牛顿第二定律可以写出该动态方程满足的微分方程对方程两边积分得到jj

10、jjtxtxtv)()(ln)(1得到平衡状态下车流速度u 和密度 满足常数 可由 u(m)=0 确定，于是得到车流量与车速的关系表达式：（六）问题背景：自从核武器问世以来。核大国之间从未停止过竞争。人们自然十分担心，这样的竞争是否会永无止境地扩展下去，我们的世界会逐渐变成一个“核弹库” 吗？请你建5 立数学模型来定性地讨论一下这个问题。提问一： 假设双方的基本想法是：在遭到对方突然袭击后保证能有足够数量的弹头幸存下来，以便给进攻者以报复性的“致命打击”。现假定甲、乙双方拥有的核弹头数分别为x 和 y。x、 y 显然是整数，方为了自己的安全，其拥有的弹头数必然要随着乙方弹头数y 的增长而增长，

11、 因而存在一个函数yf，当时，甲方才感觉到自己是安全的。同样道理，存在另一函数xg，当时，乙方才感到安全。现在，我们假设在一次打击不可能毁灭对方所有弹头。讨论稳定区域必定存在，即曲线yfx和xgy必定相交。因为，甲方只要拥有不少于枚弹头，即可认为自己是安全的。同样道理，y rx与xgy相交而进入乙方安全区。假如甲方加强了弹头的防卸能力，弹头幸存率rp增大，曲线yfx将向移动。假如甲方加强了对重要城市及要害部门的防卫，则乙方就会感到要给对方以致命的打击必须拥有比0y更多的弹头，例如需要*0y个弹头。此时xgy将移。六十年代初期，苏联十分重视发展亿吨级氢弹，希望以加强弹头威力，而美方提高命中准确度

12、，以提高对目标破坏力。记k 为破坏力大小，记x 为爆炸威力，y 为精确度 (如距目标中心的距离)。根据实验结果，他们导出了一个经验公式：232yxk由公式可以看出，若爆炸力提高到xx8*，则破坏力增大到*k；若精确度提高 8 倍，即 8*yy，则破坏力*k。以后的事实证明，美国所采取的对策是正确的。（七）问题背景：某超市要引进一种新的商品出售，为了推销该商品，它打算印制一些有关该商品的传单式广告分发给消费者。虽然消费者对这种商品的需求量是随机的，但是与超市投入的广告费用有一定关系。根据以往的经验，超市掌握了若干个潜在消费群体（所谓潜在的消费群体是指那些确实有倾向购买这种商品，但不一定花钱从这家

13、超市购买的人），广告将优先分发给他们。在对销售量随广告费增加而变化的随机规律作出合理假设的基础上，如何根据商品的购进价和售出价确定广告费和购进量的最优值，使得超市的利润 （在平均意义下）达到最大。提问一： 如果记广告费为c，潜在需求量为)(cs，那么)(cs函数具有什么性质？提问二： 假设市场需求量r服从密度函数为)(rp分布，商品购入单价为a ，售出单价为b，购入量 u ，不计仓储费用。广告费中固定费用为0c，每份广告的印刷和邮寄费用为k，广6 告将优先分发给10cSs个确定的潜在消费者。首先在给定的广告费c 下，售出商品所得的收入为：则平均利润)(uJ的表达式为求出使)(uJ达到最大的u

14、值，记作*u，*u满足*0)(ubabdrrp由假设r服从)(),0(css内的均匀分布，有得)()(*cs babcu最大的平均利润为如果取满足上述条件的双曲线函数 ccScs)(，其中、由)(cs在1c 处的函数和导数的连续性决定。得)(cs合理形式为可以得到ccc sSkccsSksccSccc kcc kccccuJ1010011000*)()()(10)(13) 为求最佳广告费*c，对（ 13）右端的第3 式求极值。用微分法算出二、运用建模方法解决下列问题：问题一： 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励。俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量

15、的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鱼，并且得到8 条鱼的数据加表1.7 （胸围指鱼身的最大周长）：表 1.7 身长 /cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 7 重量 /g 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 /cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 用机理分析建立模型，并试用数据确定参数。问题二： 在公路上有两个观测站，一个固定在ax，另一个是移动的tbx。tN表示公路上区间tba,内的车辆数，证明tN的变化率有关系tauta dtdbtbutb dtd

16、N,如果移动的观测站设想是在一个移动的汽车上，试对证明的结论给出解释。问题三： 一个汽车制造商售出一辆某品牌的汽车可获利1500 美元估计每100 美元的折扣可以使销售额提高15(1) 多大的折扣可以使利润最高? (2) 假设实际每100 美元的折扣仅可以使销售额提高10， 对结果会有什么影响?如果每 100美元折扣的提高销量10到 15之间的某个值，结果又如何? (3) 什么情况下折扣会导致利润的降低? 问题四： 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含污物）浓度降低一个固定比例q，问：（1）n 天可将池内污物浓度降低多少？（2）多长时间才能使污水浓度降低一半？（3）假如有一个污染源每天以原污染物的十分之一，（2）的结果又如何？问题五： 一头猪重200 磅，每天增重5 磅，饲养每天需花费45 美分。猪的市场价格为每磅65 美分，但每天下降1，（1）写出猪t 天后售出时利润表达式？（2）求出售猪的最佳时间？（3）如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60 美分， 会使猪按7 磅天增重， 那么是否值得改