当代社会对数学家的要求

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1、三、当代社会对数学家的要求当今世界， 数学已被应用到几乎一切领域。然而现实情况一方面是， 许许多多新 的领域要求人们用数学的眼光，数学的理论和方法去探讨； 另一方面， 科学的发展使人们的分工愈来愈细。18世纪以前的数学家中有不少人同时也是天文学家、力学家、物理学家；在19世纪，许多数学家还可以在数学的几个不同分支上工作；但自庞加莱 (Poincare) 和希尔伯特 (Hilbert) 之后，已经没有一个人能够像他们当年那样通晓数学全貌了。 大多数的数学家只能在狭窄的领域内从事研究。这种过于专门化的趋势对于数学学科的发展是十分有害的!这确实是个矛盾的现象。如果我们不能对当今数学的发展与趋势有一个

2、大致的了解，我们就不知道如 何应对，也不知道应该怎样培养学生。当代数学发展的趋势当代数学发展的趋势大致有如下几个特点：1、数学内部的联系进一步加强在指数增涨的研究文献中，尽管数学的各个分支的前沿都在不断推进， 数学在深度与广度两方面都得到快速发展，然而不同分 支之间的融合与相互渗透则是一个重要的特征。这表现为：原来长期处于纯数学 边缘的分支， 比如偏微分方程和概率论， 现在已经进入了纯数学的核心。相隔很远的分支间的内在联系不断发现，如de Rham-Hodge定理、阿蒂亚 - 辛格(Atiyah-Singer)指标定理等。许多困难的问题都需要很多学科的知识综合起来才能解决，例如，庞加莱猜想的提

3、法本来纯粹是拓扑学的，后来转化为几何问题， 光从几何也解决不了， 最后是综合使用偏微分方程、拓扑、几何的思想、 理论和 方法才把这一个复杂问题解决了的。2、数学与其它科学的交叉形成了许多交叉学科群比如，科学计算就是数学与物理、化学、材料、生物、力学等很多学科的交叉。数学与控制论、运筹学交叉 形成了系统科学。 数学与物理交叉， 形成数学物理。 此外还有计算机科学、 信息 科学、数量经济学、 金融数学、 生物数学、 数学化学、数学地质学、 数学心理学、 数学语言学等等很多的交叉学科。3、数学应用的领域空前扩张，成为开发高新技术的主要工具信息安全、信息传输、图像处理、语音识别、医疗诊断、网络、海量数

4、据处理、网页搜索、商业 广告、反恐侦破、遥测遥感，包括当代制造业、成衣业等等都大量应用数学。数学家的职业长期以来人们心目中的数学职业只是限于学术界和教育界：大学、中学教师和科 研机构的研究人员。 这种现象如今逐渐有所改变， 有些公司也开始雇用学数学的 人了。在一些发达国家，过去工业界（计算机）和商业界（比如统计、保险）雇 用一些数学硕士、 学士从事计算、 统计、程序编制和数据处理工作。随着工业中 有趣的应用数学问题愈来愈多， 近年来吸引了一定比例的数学博士和优秀的数学家，像弗里德曼 (M.Freedman，1986年菲尔兹奖获得者 )，现就职于微软公司。许多发达国家现在都有专门的机构支持工业应

5、用数学的发展，这标志着数学在这些国家的应用已相当广泛。 我查了美国最近几期的 美国数学会通讯 (Notices of the American Mathematical Society)，从2003 年到2008 年，美国大概每年有800多名数学博士毕业后在美国求职。这800 多个人中大约有 200人，约占四分之一， 到工商业界去； 其他的人都就职于各种类型的学校，有研究型的， 也 有教学型的。不过， 从读数学研究生到拿到数学博士学位其人数比大约是四比一， 除去其中有些人转到别的学科攻读博士学位外，其余大多数或是直接， 或是再读 一个其它学位， 如统计、精算等之后， 都到工商业界和政府部门去工

6、作了，这个 数字可是惊人的。学术界和工商界对数学的要求很不一样。在学术界，要求发表论文，证明定理， 推进数学的进展；工商界的要求则是解决问题，尽快给出结果。对学术界来说， 研究结果深刻、 精确、有新思想的是好工作； 工商界则要求有针 对性和可用性，如果得到的公式虽然很广泛、很精确，但计算起来太费时费钱， 就不一定会被采用。 对于学术界的人， 做研究可以自由选题， 不受限制； 但是在 工商界，数学家的工作是被指定的， 开发的项目也是被指定的。 大家在选择自己 的出路时要注意这些差别。对数学家的要求主修数学的人在学习过程中提高了抽象能力和逻辑推理能力，思考问题比较严 密， 学习那些属于符号分析方面

7、的新知识比较容易入门，这是学数学的人的优势。 他们当然也有劣势，比如不擅长做实验等。（1）到工商界工作的数学家主要从事符号分析、数据处理、建模、编程等方面的工作。然而数学的宝库是非常丰富的，如何采用更有效的理论和方法来解决问 题，则要求更多地懂得该工作领域以及数学两方面的知识。要想工作有成绩， 就 不能只掌握几套现成的方法，而是要拓宽数学的知识面。（2）在交叉学科从事应用数学研究的数学家，更要深入到这个新领域中去，了解研究问题的来龙去脉。 这些数学家并不以证明定理为成果的主要表现方式，而 是创建好的模型。 创建好的模型正如证明深刻定理一样有意义，它是利用数学工 具寻找客观规律的重要手段。实际问

8、题很复杂， 如何抓主要因素， 使之既能反映 出主要现象， 又能在数学上有办法处理。 这种抽象、 简化以及解决问题的方法是 一种数学艺术。然而在有些数学家中流行一种看法，认为应用数学是搞不了纯数学的人才去搞的。这是极为错误的，也是有害的观点！20 世纪不仅有许多极有才华的应用数学家开创了许多应用数学分支，把数学的疆界空前地扩大了，如图灵(Turing) 、山龙(Shannon) ； 而且还有些在纯数学领域中有卓越成就的数学家后来都又在应用数学领域做出了极富开创性的贡献，如冯?诺依曼 (vonNeu ?mann) 、维纳(Wiener) 、托姆 (Thom ，拓扑学家， 1958 年费尔兹奖得主

9、)、斯梅尔 (Smale ，1966 年费尔兹奖得主 )，以及 2007 年获得邵逸夫奖的芒福德(Mumford，1974年费尔兹奖得主 )和吴文俊等。(3)纯数学的研究是非功利的。这个意义上有点像文学和艺术，也没有统一的评价标准。研究的成果贵在创新。 然而这种创新并不是数学家们没有目标的随心所欲的创造。正如柯朗（R.Courant ）说过， “ 只有在以达到有机整体为目标的前提，只有在内在需要的引导下，自由的思维才能做出有科学价值的成果” 。6整个数学是一个有机整体，学科之间是相互牵连在一起，互相补充，互相促进的。 一项工作如果很孤立， 和主流上的问题都没有联系，也没有多少新的思想， 那么

10、就很难说意义有多大了。数学分支间的融合与渗透是当代数学发展趋势的一个特征，要想在有意义的问题上做出贡献， 知识面一定不能太窄。 然而当代大多数数学家工作面过于专门化却 是一种普遍现象。 这有其内在的原因： 数学的体系太庞大， 内容又极为丰富， 要 想在前人工作的基础上有所拓广就很难有精力去了解其它分支；同时也有其外在原因， 数量剧增的研究人员产生了大量的研究论文， 发表的论文多就逼迫研究人员多读，而且“ 发表论文的压力 ” 又逼迫他们多写， 如 此互为因果， 也就无暇他顾了。 这是当今国际学术界普遍存在的严重问题。然而 研究贵在创新！ 真正的 “ 原创 ” 思想往往来自那些能 “ 精通 ” 看

11、来相距遥远的几个领 域，而且能 “ 洞察 ” 到把一个领域的结果用于解决另一个领域问题的途径。那是建 立在全面了解、长期思考、过人功力基础之上的。(4)有人说，我不想做研究，只想当老师教书。不错，本来教书就是学数学的一个重要出路。 作为大学， 甚至中学的数学老师， 对他们所教的学科也不能只掌握 教科书上所写的那一点内容，如果那样的话， 或者会把书教得枯燥无味， 或者不 得要领。反之，如果教师的知识渊博， 再肯学习新东西教给学生，学生对学习一 定会产生很大的兴趣。事实上，只有那些热爱数学，并能把数学看成活生生的、 不断发展着的人才能激励起学生的好奇心和求知欲。很多数学家回忆自己走过的 道路时，怀

12、念当年的数学老师， 正是这些老师把他们引进了数学的殿堂。我们现在正处于数学理论和应用空前大发展的时代，怎么改革数学教育?怎样的师资才能适应大发展的需求 ?这些都是需要我们认真思考的问题。四、数学教育的重要性作为一种 “ 思想的体操 ” ，数学一直是中、小学义务教育的重要组成部分。现在大 学理、工、文、法、农、医等科都有数学课，说明了人们认识到数学的重要性。 不过，在许多学校， 这些数学课的收效并不理想。原因可能是多种多样的， 要具 体分析。比如某系课程表上规定要上数学课，任课老师未必知道为什么这个系的 学生需要开这门课。 是作为 “ 语言 ” 的需要？专业课的需要？看书看文献的需要？ 还是做研

13、究的需要？这是不同层次的要求。不按需要教， 就是无的放矢， 学生自 然没有兴趣， 效果也不会好。 所以我建议教非数学专业学生的教师首先要了解一 下这个专业的需求。改善数学教育几千年数学发展的丰富积累是人类的知识宝库。在知识社会， 这个知识宝库是一 种重要的资源。怎样能让这些资源共享，就要靠老师们传承给各行各业的人。如何改善我国现行的数学教育，我认为要综合考虑以下几方面：知识。 既重视基础，也照顾前沿，特别要考虑受教育对象的需要和基础。能力。 “ 数学是一种普遍适用的，并赋予人以能力的技术” 。在教学过程中，不能 只灌输知识， 更重要的是培养能力， 包括计算能力 （包括使用计算机进行计算的 能力

14、） 、几何直观能力、逻辑推理能力、抽象能力、把实际问题转化为数学问题 的能力。而具体通过哪些内容培养哪些能力，或者培养哪几方面的能力， 教师要 做到心里有数。修养。 数学是一种文化。 数学不是一门自然科学， 它有文化的层面。 受过良好数 学教育的人看问题的角度和一般的人不完全一样，数学能开阔人的视野， 增添人 的智慧。一个人是否受过这种文化熏陶， 在观察世界、思考问题时会有很大差别。 会不会欣赏数学， 怎样欣赏数学， 与数学修养有关， 就如同欣赏音乐一样， 不是 人人都能欣赏贝多芬的交响乐的。然而数学修养不但对数学工作者很重要，对于一般科学工作者也重要。 具备数学 修养的经营者、 决策者在面临

15、市场有多种可能的结果，技术路线有多种不同选择 的时候，会借助数学的思想和方法， 甚至通过计算来做判断， 以避免或减少失误。詹姆斯 ?西蒙斯 (JamesSimons) 就是一个最好的例证。在进入华尔街之前，西蒙斯是个优秀的数学家。 他和巴菲特的 “ 价值投资 ” 不同，西蒙斯依靠数学模型和电 脑管理自己旗下的巨额基金，用数学模型捕捉市场机会，由电脑做出交易决策。 他称自己为 “ 模型先生 ” ，认为建立好的模型可以有效地降低风险。在西蒙斯的公 司里雇用了大量的数学、统计和自然科学的博士。发达国家在大型公共设施建设，管道、网线铺设以及航班时刻表的编排等方面早 已普遍应用运筹学的理论和方法，既省钱

16、、省力又提高效率。 可惜，运筹学的应 用在我国还不普遍。其实我们不能要求决策者本人一定要懂很多数学，但至少他们要经常想想工作中 有没有数学问题需要咨询数学家。数学修养对于国民素质的影响，正如美国国家研究委员会发表的“ 人人关心数学 教育的未来 ” 一书中所说： “ 除了经济以外， 对数学无知的社会和政治后果给每个 民主政治的生存提出了惊恐的信号。因为数学掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键。 ” 8 对于教学改革的几点意见“ 十年树木， 百年树人 ” 说明教育的成果需要经过相当长的时间才能收获。因此教 学改革的效果也不可能立竿见影。这就决定了教学改革只能“ 渐进 ” 不能 “ 革命 ” 。20世纪中期美国的 “ 新数学运动 ” 以及1958-1960 年中国的 “ 教育大革命 ” 的历史教训必须记取！要“ 改革 ” 就可能有成功也可能有失败，而且成败未必就那么容易察觉，有时很可 能所得之处就含有所失， 所以做改革实验之前必须考虑到可能出现的问题与补救 方法。我们应当鼓励实验的多样化。 事实上每个教师都可以通过自己的教学实践对具体 教学内容进行改革， 这是应当受到鼓励的