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1、理论力学,PAG 2,第十八章 机械振动基础,说话，声带振动,振动:,系统在平衡位置附近往复运动,研究振动的目的：消除或减小有害振动，充分利用有利振动。,听声，耳膜振动,利：振动给料机振动筛振动沉拔桩机,弊：磨损,减少寿命,影响强度引起噪声,影响劳动条件消耗能量,降低精度,PAG 3,第十八章 机械振动基础,本章只研究单自由度系统的振动。,PAG 4,单自由度系统的自由振动,计算固有频率的能量法,单自由度系统的无阻尼受迫振动,单自由度系统的有阻尼自由振动,第十八章 机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,转子的临界转速,隔 振,PAG 5,模型：弹簧质量系统,（弹簧原长l0,刚性系数k）,
2、在重力作用下弹簧变形st为静变形，该位置为平衡位置。,平衡,取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;,弹簧力,18-1 单自由度系统的自由振动,一、自由振动微分方程,PAG 6,由质点运动微分方程可得, 恢复力,只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。,（始终指向原点）, 无阻尼自由振动微分方程的标准形式,18-1 单自由度系统的自由振动,PAG 7,两个根为,代入微分方程得特征方程,18-1 单自由度系统的自由振动, 二阶齐次线性常系数微分方程,方程解表示为,C1、C2为积分常数，由初始条件确定,PAG 8,微分方程的解,运动图线,无阻尼自由振动是简谐振动,18-1 单自由度
3、系统的自由振动,方程解表示为,PAG 9,1、固有频率,无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动,任意t 时刻的运动规律为, 周期函数,T 周期,18-1 单自由度系统的自由振动,二、无阻尼自由振动的特点,单位：秒 (s),无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动,无阻尼自由振动微分方程,解为,PAG 10,18-1 单自由度系统的自由振动,无阻尼自由振动微分方程,解为,角度周期为2，有,则自由振动的周期为, 频率,其中,每秒振动次数(1/s,Hz赫兹), 圆频率,2秒内振动次数(rad/s,弧度/秒),PAG 11,18-1 单自由度系统的自由振动,固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了
4、振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。,自由振动的圆频率n只与表征系统本身特性的质量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是振动系统的固有特性 。, 固有圆频率,PAG 12,18-1 单自由度系统的自由振动,若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。,如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。,满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。,PAG 13,固有频率的确定方法：,方法一:,方法二：,弹簧质量系统平衡时,方法三：,已知系统的运动微分方程,18-1 单自由度系统的自由振动,PAG
5、 14, 振幅与初位相,振 幅,简谐振振动表达式, 相对于振动中心点O的最大位移,初相位, 决定质点运动的起始位置,18-1 单自由度系统的自由振动,相位角, 决定质点在某瞬时t 的位置,自由振动的振幅A 和初相位是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。,PAG 15,18-1 单自由度系统的自由振动,简谐振振动表达式,自由振动的振幅A 和初相位由运动的初始条件确定。,PAG 16,例18-1 物块质量为m, 无重弹簧刚度系数为k,求系统的固有频率。,以物块平衡位置O为原点,取x轴如图,物块沿x轴的运动微分方程,18-1 单自由度系统的自由振动,PAG 17,斜面角与物块运动微分方程无关,固
6、有频率,18-1 单自由度系统的自由振动,PAG 18,物块平衡时，弹簧变形量,例18-2 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角= 30，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。,18-1 单自由度系统的自由振动,解: 取质量弹簧系统为研究对象,h, 以物块平衡位置O为原点，取x轴如图, 物块在任意位置x处受力,重力mg 斜面约束力FN 弹性力F,PAG 19,固有频率与斜面倾角无关, 系统振动的固有频率,固有频率,18-1 单自由度系统的自由振动,
7、物块沿x轴的运动微分方程,系统的通解,PAG 20,取物块刚碰上弹簧作为振动起点，此时t = 0，物块坐标即初位移,18-1 单自由度系统的自由振动, 系统振动的振幅、物块的运动方程,物块碰上弹簧时初速度,PAG 21,18-1 单自由度系统的自由振动,得振幅及初相位,此物块的运动方程为,系统的通解,PAG 22,解: 将此梁近似成弹簧，静挠度相当于弹簧静伸长, 重物受力分析, 列运动微分方程,O,例18-3 如图所示，无重弹性梁,当其中部放置质量为M的物块,其静挠度为2mm。若将此物块在梁未变形位置处无初速释放,求系统的振动规律。,梁的刚性系数为,重力mg 弹性力F,取平衡位置为原点，x轴铅
8、直向下,18-1 单自由度系统的自由振动,PAG 23,运动微分方程,梁的刚性系数,18-1 单自由度系统的自由振动,运动微分方程,微分方程的解,其中圆频率,t = 0时，物块坐标x0 = -st = -2mm，重物初速v0= 0,PAG 24,初相位,则振幅,系统的自由振动规律为,18-1 单自由度系统的自由振动,其中圆频率,x0 = -2mm，v0= 0,微分方程的解,PAG 25, 弹簧并联,系统平衡, 等效弹簧刚性系数,18-1 单自由度系统的自由振动,三、弹簧的并联与串联,设物块在重力mg作用下平动，静变形为st，两弹簧受力F1和F2,弹簧刚度分别为k1、k2,PAG 26, 弹簧并
9、联,系统平衡,(等效弹簧刚性系数),18-1 单自由度系统的自由振动,三、弹簧的并联与串联,并联系统固有频率,当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。（该结论可推广到多弹簧并联的情形）,PAG 27, 弹簧串联,两弹簧总静伸长,18-1 单自由度系统的自由振动,每个弹簧受力均为物块重量,系统平衡时,两弹簧静伸长分别为,设串联系统等效弹簧刚度为keq，则,三、弹簧的并联与串联,PAG 28,18-1 单自由度系统的自由振动,等效弹簧刚度, 弹簧串联,三、弹簧的并联与串联,串联系统固有频率,当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和。（该结论可推广到多弹簧串联的情
10、形）,PAG 29,扭振系统：圆盘对中心轴转动惯量为JO，刚性固结在扭杆的一端，圆盘相对固定端可转角度，扭杆的扭转刚性系数为kt（使圆盘产生单位扭角所需力矩）,根据刚体转动微分方程建立圆盘转动运动微分方程：,18-1 单自由度系统的自由振动,四、其它类型的单自由度振动系统,（扭振系统、多体系统）, 与无阻尼微分方程的标准形式相同,PAG 30, 受力分析,摆在水平平衡处，弹簧已有压缩量0,由平衡方程,例18-4 图示摆振系统，不计杆重，球质量为m，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。,18-1 单自由度系统的自由振动,解:
11、 取系统为研究对象,O,k,d,l,平衡位置为原点,摆在任一小角度处,弹簧压缩量为0+d,PAG 31, 摆绕轴O转动微分方程,18-1 单自由度系统的自由振动, 标准形式的无阻尼自由振动微分方程,摆振系统固有频率,以平衡点为原点，摆振系统的运动微分方程为标准的无阻尼自由振动微分方程，列方程时,可由平衡位置计算弹性变形,而不再计入重力。,PAG 32,运动规律,速度为,在t 瞬时物块的动能,18-2 计算固有频率的能量法,能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率。,无阻尼振动系统自由振动时，物块运动为简谐振动。,PAG 33,对有重力影响的弹性系统，若以平衡位置为零势能点，则重力与弹
12、性力势能之和相当于由平衡位置计算变形的单独弹性力势能。,18-2 计算固有频率的能量法,系统势能V 为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点,PAG 34,18-2 计算固有频率的能量法,当物块处于平衡位置时，其速度最大，物块具有最大动能,当物块处于偏离振动中心的最远点时，其位移最大，系统具有最大势能,无阻尼自由振动系统是保守系统，其机械能守恒,PAG 35,图示在水平面匀速运动的均质圆柱质量为m，半径为r，弹簧刚性系数为k，摩擦足够，但不考虑摩擦阻力偶，求系统微振固有频率。,取平衡位置为系统原点，受力如图,18-2 计算固有频率的能量法,由机械能守恒，对保守系统，由 可列出系统运动微分
13、方程，得到系统固有频率。,PAG 36,18-2 计算固有频率的能量法,PAG 37,则系统振动时摆杆的最大角速度, 计算最大动能和最大势能,最大动能,18-2 计算固有频率的能量法,例18-5 图示摆振系统，摆杆AO对铰链点O的转动惯量为J，在杆的点A和B各安置一个刚度分别为K1和K2的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。, 设摆杆作自由振动时,其摆角变化规律为,解: 取摆杆为研究对象,PAG 38,最大势能 = 两弹簧最大势能之和, 应用机械能守恒定律,18-2 计算固有频率的能量法,最大动能,PAG 39,由运动学知,圆柱体纯滚动时,角速度, 分析运动规律,设t 时刻
14、，圆柱体微振角为,设的变化规律为,例18-6 图示一质量为m、半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,18-2 计算固有频率的能量法,解: 取圆柱为研究对象,PAG 40,18-2 计算固有频率的能量法, 计算系统机械能,圆柱在最低处平衡,取该处圆心位置为零势能点,系统的势能即重力势能为,PAG 41,系统的最大动能,系统的最大势能, 应用机械能守恒定理,18-2 计算固有频率的能量法,PAG 42, 振动过程中的阻力,粘性阻尼力,c ：粘性阻尼系数,18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼,介质阻尼,阻尼类型,结构阻尼,库仑
15、阻尼,粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比（较多）,设振动质点的速度为v,负号表示方向,PAG 43, 振动过程中的阻力,振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示,一般的机械振动系统都可简化为：由惯性元件（m）弹性元件（k）阻尼元件（c）组成的系统,18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼,上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。,PAG 44,物块振动微分方程,粘性阻尼力：,恢复力：,以平衡位置O为坐标原点,18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,二、振动微分方程,（不计重力）,振动过程中作用在物块上的力,方向指向平衡位置O,方向与速度方向相反,PAG 45,物块振动微分方程, 有阻尼自由振动微分方程的标准形式,18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,两个特征根为,特征方程,设其解为,方程通解为,二阶齐次常系数线性微分方程,PAG 46,1、小阻尼n,特征根为共轭复数,微分方程的解, 有阻尼自由振动的圆频率,18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,A和为积分常数，由运动的初始条件确定,阻尼系数,PAG 47,运动图线,衰减振动：振动的振幅随时间不断衰减,
