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1、,一、函数的单调性,二、函数的极值,四、函数图形的描绘,第三节 导数的应用,三、曲线的凹凸性与拐点,五、小结 思考题,一、函数的单调性(monotonicity),定理,1单调性的判别法,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,2单调区间(monotonical interval)求法,问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调,定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法
2、:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例4,（等号仅在某些点成立！）,解,例4,证,3利用单调性证明不等式,连续，且在 导，,二、函数的极值( extremum ),1函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,2函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(不是极值点情形),(是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能
3、是函数的极值点.,求极值的步骤:,三、曲线的凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,1曲线的凹凸性( concave or convex),图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,1凹凸性的判定,定理1,1,2,3,1,3,2,例1,解,注意到,2. 曲线的拐点(a point of inflection)及其求法, 拐点的定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线., 拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、函数图形的描绘,如果函数 f (x) 的定义域上的某个小区间中,（1）单调性已知；
4、,（2）凹凸性已知；,（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；,那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形,1渐近线(asymptotes),定义:,(1) 铅直渐近线,( vertical asymptotes ),例如,有铅直渐近线两条:,(2) 水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,(horizontal asymptotes),(3) 斜渐近线(inclined asymptotes),斜渐近线求法:,注意:,例1,解,2函数图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,3函数作图举例,例
5、2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,五、小结 思考题,1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充
6、分条件;,(注意使用条件),2. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,3. 曲线的弯曲方向凹凸性；凹凸性的判定.,改变弯曲方向的点拐点; 拐点的求法.,4. 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究, 是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,思考题,在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d, 并且在地面处开了一个高为H的
7、小门. 现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l (ld)的水管运到水塔内部. 请问水塔的门多高时，才有可能成功地把水管搬进水塔内？,水管运进水塔时, 一端在地面上滑动, 另一端在水塔壁上垂直滑动. 设水管运动过程中, 在入门处的高度为h, 水管与地面的夹角为 根据题意可知：,现在计算h的极大值.,解 建立如右图示坐标系.,思考题,某杂技团刻意求新, 在某海滨城市演出时, 利用当地靠海的条件, 设计了这样一个节目：在离开海边9米的沙滩上, 建一10米高台, 高台下5米处置一极富弹性的斜面(用弹簧编织而成), 斜面与水平面成 角. 然后让演员从高台团身跳下, 与斜面碰撞(假定为弹性碰
8、撞)后将其弹到海里. 不知这个方案是否可行，请鉴定.,分析：如右图示, 演员的表演分三个阶段完成：自由落体, 碰撞, 平抛. 判断该方案是否可行, 就是看经过这样,的运动之后能否平安地落入海中. 这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于9米即可.,记高台、高台距斜面的高度分别为H和h, 显然, s是h的函数, 问题转化为求s(h)的极大值.,演员碰到斜面时的速度可计算得 ,由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度, 演员从(H-h)处自由下落需要的时间为,故演员水平飞出的距离为,即把斜面放在全高的一半处, 就可得到最大的水平距离. 即,飞出的距离可达10米, 而高台离海边仅9米, 故方案,是可行的
9、.,思考题,思考题解答,例,思考题,思考题解答,练 习 题(一),练习题(一)答案,练 习 题(二),练习题(二)答案,练 习 题( 三),练习题(三)答案,第五题图,练 习 题（四),1图,2图,二、,练习题（四)答案,三、,三、实际经济问题中的异方差性,例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为:Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。,高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化,例4.1.2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+I,将居民按照收入等距离分成
10、n组，取组平均数为样本观测值。,一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。,例4.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型：Yi=Ai1 Ki2 Li3ei,被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。,每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型
11、。,四、异方差性的后果,计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：,1. 参数估计量非有效,OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性,因为在有效性证明中利用了 E()=2I,而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。,2. 变量的显著性检验失去意义,变量的显著性检验中，构造了t统计量,其他检验也是如此。,3. 模型的预测失效,一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；,所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。,五、异方差性的检验,检验思路
12、：,由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。,问题在于用什么来表示随机误差项的方差,一般的处理方法：,几种异方差的检验方法：,1. 图示法,（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）,看是否形成一斜率为零的直线,2. 帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验,基本思想:偿试建立方程：,或,选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型
13、存在异方差性。如： 帕克检验常用的函数形式：,或,若在统计上是显著的，表明存在异方差性。,3. 戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验,G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。,G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。,G-Q检验的步骤： 将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队； 将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大
14、的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2； 对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和；,在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量,给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。,4. 怀特（White）检验,怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差。怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：,然后做如下辅助回归,可以证明，在同方差假设下：,(*),R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，,表示渐近服从某分布。,注
15、意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。,六、异方差的修正,模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。,加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。,例如，如果对一多元模型，经检验知：,在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数；对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。,新模型中，存在,即满足同方差性，可用OLS法估计。,一般情况下:,对于模型Y=X+,存在：,即存在异方差性。,W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得W=DD,用D-1左乘 Y=X+ 两边，得到一个新的模型：,该模型具有同方差性。因为,
