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1、,函数与导数（2）,高三复习讲座,南京市金陵中学 张爱平,重视对基本初等函数的研究 重视函数与其它核心知识的联系,一. 重视对基本初等函数的研究 基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、分段函数等）是考查函数知识最常见的载体建议：在二轮复习的过程中应该通过一些填空题和解答题加以训练和巩固，要注意将问题和方法进行归纳、整理,常见基本函数,1、二次函数与二次方程,二次函数是基本初等函数中最重要的函数之一，在小题和大题中均有所涉及，尤其是二次函数的图象与性质是重中之重,问题：设函数f(x)|x24x5| （1）在区间2，6上画出函数f(x)的图象； （2）设集合Ax| f(x)
2、5，B(，20，46，)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明； （3）当k2时，求证：在区间1，5上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方,5,解（1）,数与形相结合解决问题！ 考查函数与方程！ 考查集合之间的关系！,（2）设集合Ax| f(x)5，B(，20，46，)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；,设函数f(x)|x24x5| （3）当k2时，求证：在区间1，5上，ykx3k的图象位于函数f(x)图象的上方,做差，构造一个新函数，将两个函数图象的关系转化为一个函数的零点的讨论！,研究新函数（二次函数）的最小值！,5,1,5,设函数f(x)|x24x5| （3）当k2时，
3、求证：在区间1，5上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方,3,1,数形结合，先确定临界状态（相切）！ 直线过定点（3，0）,5,1,5,3,1,5,1,5,3,2、转化为二次函数或二次方程,分析：转化为二次函数或二次方程在近几年考题中出现比较多,需要考虑a的符号及对称轴的位置！,考虑给定区间上的二次函数的最值时，要讨论图象的开口方向和对称轴与区间的相对位置,幂函数是新课程新增内容！ 注意难度的控制！ 要熟记5种幂函数的图象与性质,1，3,3.指数函数、对数函数与幂函数,4、分段函数,在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式一般考查分段函数的图象、性质和应用在填空题、解答题中，尤其是应用
4、题有所涉及,主要题型： （1）判断分段函数的奇偶性； （2）求分段函数的函数值； （3）作分段函数的图象； （4）求分段函数的解析式； （5）求分段函数的最值,问题：设f(x)x2|x1|1 （1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）求函数的最小值，并画出函数的图像,第（1）问举反例即可，第（2）问是分段函数，研究其最小值，将每段上的最小值求出，再比较得到其最小值,改变分界线与两个对称轴的相对位置，分段函数的性质发生变化，注意结合图象分析二次函数的单调性和最值,变化3：设aR， f(x)x2|xa|1 求函数的最小值，并画出函数的图像,分析：分三种情况,从特殊到一般，研究问题，注意分类讨论的标准
5、！,二重视函数与其它核心知识的联系函数、方程、不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题函数与其它知识的交汇点也是高考命题的热点函数的思想是灵魂,建议：在整个二轮复习过程中，应不断渗透函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归与转化的思想尤其要注意利用函数的单调性证明不等式、判断方程的根、求函数的最值和参数的范围等问题利用函数研究方程、不等式、数列、解析几何等的综合问题,函数与方程 函数与数列 函数与解析几何 函数的综合应用 函数与导数,函数与方程用函数的观点看待方程，可以用动态的观点看方
6、程，把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点，及利用二分法、导数等工具求方程的近似解（新增内容）,问题：已知函数f(x)2xx2则方程f(x)0在1，0内有几个实数根？,方法一：利用导数判断f(x) 2xx2单调性，再判断f(0) f(1) 的符号；,方法二：利用函数y 2x与 yx2的图象，数与形结合；,问题：已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，函数yf(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围,问题：已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，函数yf(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围,说明：分离参变量，转
7、化为求新函数的值域,函数的综合应用 函数应用题依然是高考命题的热点之一，在复习中要注重学生建立函数模型和阅读理解能力的加强,建议：加强建立数学模型能力的培养，对如何选择自变量、确定目标函数及定义域、解决数学模型、回到实际问题等进行有针对性的指导和练习,如何建模？ 如何利用函数的性质、不等式等知识与方法解决数学问题？ 如何阅读理解题意？,问题：一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数x(xN)的变化关系如下表所示：则客车的运输年数为 时，该客车的年平均利润最大,主要问题：审题不到位！,问题：某大型企业的员工每天用餐消耗大米4000 kg，该企业采购大米的市场价格为每千克3元，企业仓库
8、最多能储存56000 kg的大米，一次采购大米不超过32000 kg，需付运费196元；一次采购大米超过32000 kg，而不超过56000 kg时，需付运费256元大米的保管费用为每天1000 kg 2元（该企业规定不使用当天采购的大米）设企业一次采购的大米可供员工用餐的天数为x，企业平均每天所付的大米费用（包括买米费、运费、保管费）为y元 （1）试写出y与x的函数关系； （2）该企业一次采购多少天所需的大米，能使平均每天所付的大米费用最少？,分段函数的应用！建模是难点！,关注分式函数的性质和基本不等式使用的条件！,函数是导数的研究对象导数是研究函数的通用、有效、简便的工具用导数研究函数性质
9、、进一步理解函数概念和性质的联系，是对函数概念理解的又一次上升特别关注以三次函数为载体的导数问题,函数与导数,利用导数研究函数的性质是近几年高考中常见的题型，主要是函数的极值、单调性和最值，要关注导数与其它知识的综合，使导数与其它知识和方法融合在一起，不断提高学生的综合解决问题能力,高考常见的内容和题型是： （1）简单的函数求导和利用导数求曲线的切线斜率； （2）利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数的极值和最值； （3）应用导数解决实际问题 用导数解决函数中的最值问题、不等式问题或与几何问题相结合等,建议：在复习函数的单调性时，可以将定义法与导数法结合起来，解决实际问题中的最优化问题时，可
10、以将基本不等式与导数结合起来，开拓学生的解题角度，在复习时要充分利用教材，渗透利用导数解决函数问题方法的训练，使知识和方法系统化,1、关于导数的几何意义,关注切线的斜率！,问题：已知f(x)2x3ax，g(x)bx2c的图象都经过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求函数f(x)和g(x)的解析式,2、利用导数研究函数的性质利用导数求函数的单调区间、极值和最值,问题：函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是 ,说明：本题主要考查初等函数求导、导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性等基础知识，是中等题,问题：已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则f(2)_,解：因为f(
11、x)3x22axb，所以f(1) 0 所以32ab0，1aba210. 解得a4或3 当a4时，b5，满足题意，f(2)18; 当a3时，b3，但f(x)3x26x33(x1)20，不符合题意，舍去,一定要检验！可导函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件是f (x0)0,问题：已知aR，函数f(x)x2|xa| （1） 当a2时，求使f(x)x成立的x的集合； （2） 求函数yf(x)在区间1，2上的最小值,解含绝对值的方程，要通过分类讨论，将绝对值符号 去掉，转化为二次方程,问题：已知aR，函数f(x)x2|xa| （2） 求函数yf(x)在区间1，2上的最小值,要去掉绝对值符号！ 分类讨论！ 标准？,判断极值点是否在区间内是解题的关键所在！ 再分类讨论！ 标准？,确定最小值需要比较两个函数值的大小！,又分类讨论！,标准？,主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力,3应用导数解决实际问题,问题 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？,根据题意选择自变量，建立目标函数，再利用导数求目标函数的最值，注意定义域的确定,本节课重点复习了基本初等函数及函数与其它知识的综合 注意方法的归纳与提高 查漏补缺、规范书写、准确计算 函数思想的渗透,
