信息经济学部分习题解答

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1、博弈论与信息经济学 Game Theory and Economics of Information 练习 Exercise,1 完全信息静态博弈,2.在下表所示的战略式表述中，找出重复剔除的占优均衡。,4.一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在身边的地上(每个人都知道自己有多少钱)，突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱属于自己的，他们为此而发生争执，最后请来一位律师。律师宣布了这样的规则：每一个人将自己的钱数写在纸条上，然后将纸条交给律师；如果所有人要求的加总不大于钱的总数，每个人得到自己要求的部分(如果有剩余的话，剩余的归律师)；如果所有人要求的加总大于钱的总数，所

2、有的钱都归律师所有。写出这个博弈中每个参与人的战略空间和支付函数，并给出纳什均衡。,解：设金钱总数为M。 对赌徒i，战略空间Si=0,M，siSi，支付函数ui为 所有满足isiM的选择都是纳什均衡。纳什均衡有无穷多个。,5.(库诺特博弈)假定有n个库诺特寡头企业，每个企业具有相同的不变单位成本c，市场逆需求函数是p = a - Q，其中p是市场价格，Q = jqj是总供给量，a是大于零的常数。企业i的战略是选择产量qi最大化利润 i=qi(a-Q-c)，给定其他企业的产量q-i，求库诺特-纳什均衡。,解：根据问题的假设可知各企业的利润函数为 其中i=1,n。 将利润函数对qi求导并令其为0得

3、： 解得各企业对其他企业产量的反应函数为：,根据n个企业之间的对称性，可知 必然成立。代入上述反应函数可解得： 因此该博弈的纳什均衡是所有n个企业都生产产量 。,6.(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产量竞争)，两个企业生产的产品是完全替代的，并且单位生产成本相同且不变，企业1的价格为p1，企业2的价格为p2。如果p1p2，企业1的需求函数为0，企业2的需求函数为q2=a-p2；如果p1=p2=p，市场需求在两个企业之间平分，即qi=(a-p)/2，什么是纳什均衡价格？,解：假设单位成本为c。 企业i的需求函数为 从上述需求函数可以看出，企业i绝不会将其价格定的高于企业j。

4、由于对称性，可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同，即p1=p2。如果pic，企业i的利润i=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/20。因此，只要企业i将其价格略微降低一点点(0)，则可获得整个市场的需求，利润为(pi-c)(a-pi)(pi-c)(a-pi)/2。另一企业也会采取相同的战略，直到其利润为0。此时均衡的结果为p1=p2=c。,7.(产品有差异时的价格竞争)现在假定两个企业的成本并不完全相同，企业1的需求函数为q1(p1,p2)=a-p1+p2，业2的需求函数是q2(p1,p2)=a-p2+p1。求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。,解：两企业的利润函数分别为 求各自价

5、格的一阶偏导数，令其等于0，得：,分别得到两个企业的反应函数： 求解方程得：,9.(投票博弈)假定有三个参与人(1,2,3)要在三个项目(A,B,C)中投票选择一个。三个参与人同时投票，不允许弃权，因此，战略空间为Si=A,B,C。得票最多的项目被选中，如果没有任何其他项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下： u1(A)=u2(B)=u3(C)=2 u1(B)=u2(C)=u3(A)=1 u1(C)=u2(A)=u3(B)=0 找出这个博弈的所有的纳什均衡。,解：所有战略组合的支付函数如下,纳什均衡为(A,A,A)、 (A,B,A)、 (B,B,B)、 (A,C,C)、 (C,C,

6、C),10.模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡、虫子。输赢规则是：杆子降老虎、老虎降鸡、鸡降虫子、虫子降杆子。两个人同时出令、如果一个打败另一个，赢着的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用都为0。写出这个博弈的支付矩阵。这个博弈有纯战略纳什均衡吗？计算出混合战略纳什均衡。,解：,补充1：求出下图中的博弈的混合战略纳什均衡 解：设参与人1采用战略T的概率为p；参与人2采用战略L的概率为q。分别计算两个参与人采用各自两个纯战略的期望效用，并令它们相等得： 2q=q+3(1-q) p+2(1-p)=2p 求解得：p=2/3，q=3/4,p,1-p,q,

7、1-q,2 完全信息动态博弈,1.参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带伞。他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。支付函数如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者(搭便车者)的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1，不带伞者的效用为0；如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不下雨时每人的效用为1；如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树)和战略式表述：(1)两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策)；(2)两人出门前都不知道

8、是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞；(3)丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策；(4)同(3)，但妻子先决策，丈夫后决策。,解：扩展式表述：假设用N代表自然，H代表丈夫，W代表妻子。,（1）,（2）,（3）,（4）,战略式表述：(麻烦，自己写),3.下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。企业1的利润函数是： 1=-(p-aq+c)2+q 企业2的利润函数是： 2=-(q-b)2+p 求解： (1) 两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡 (2) 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡

9、 (3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡 (4) 是否存在某些参数值(a,b,c)，使得每一个企业都希望自己先决策？,解: (1) 根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为： 求解得纳什均衡：,(2) 企业1先决策 根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数 代入企业1的利润函数，得 再求企业1的反应函数，得,(3) 企业2先决策 根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数 代入企业2的利润函数，得 再求企业2的反应函数，得 再代入企业1的反应函数，得,(4) 因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此 得两个企业都希望先决策的条件为,4.考虑如下的双寡头市场的战略性投资模型：企业

10、1和企业2目前情况下的单位生产成本是c=2。企业1可以引进一项新技术使单位生产成本降低到c=1，该项技术需要的投资为f。企业2可以观察到企业1的投资决策。在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量(库诺特博弈)。因此，这是个两阶段博弈。假定需求函数为p(q)=14-q，其中p是市场价格，q是两个企业的总产量。问题：当f 取什么值时，企业1将投资引进新技术？,解：分企业1第一阶段未引进和引进投资两种情况，每种情况都用逆推归纳法进行分析。 假设企业1第一阶段未投资引进新技术。此时两个企业的边际成本都为2，利润函数为： 一阶最优条件为 求解可得,假设企业1第一阶段投资引进新技术。此时两个企

11、业的边际成本下降到1，利润函数为： 一阶最优条件为 求解可得 故当 时，引进新技术,8.下表所示博弈重复两次，第二次开始之前第一次的行动能被双方观察到。假定参与人对未来收入不贴现。问题：支付向量(4,4)能否作为子博弈精炼均衡结果在第一阶段出现(假定参与人只选择纯战略)？如果能，请给出支持这一结果的战略；如果不能，解释为什么。,解：上述静态博弈有两个纯战略纳什均衡(T,L)和(M,C)。由于战略组合(B,R)实现的收益(4,4)对参与人2来说已经是最理想的，所以参与人2不会有偏离动机，只有参与人1有偏离动机，因此可以设计如下制约参与人1行为的触发战略： 参与人1：第一阶段选B；第二阶段选T 参

12、与人2：第一阶段选R；第二阶段，如果第一阶段的结果是(B,R)，则选L，否则选C。,补充1：三寡头垄断市场有倒转的需求函数为p(Q)=a-Q，其中Q=q1+q2+q3，qi是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择q1，厂商2和3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量是多少？,解：用逆推归纳法先分析第二阶段厂商2和厂商3的静态博弈，再讨论第一阶段厂商1的选择。 三个厂商的利润函数为： 先分析第二阶段厂商2和3的决策。最优一阶条件为：,联立解得厂商2和3对厂商1产量的反应函数为： 再分析第一阶段的决策。将反应函数代入厂商1的利润函数得： 最优一阶条

13、件,补充2：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作努力工作(100小时)时有50%的概率能赢，律师不努力工作(10小时)则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。律师的效用函数为m-0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。,解：,输(0.85),赢(0.15),输(0.5),赢(0.5),3 不完全信息静态博弈,2.考虑如下贝叶斯博弈：(1)自然决定支付

14、矩阵如表a或b，概率分别为和1-；(2)参与人1知道自然选择了a还是b，但参与人2不知道；(3)参与人1和参与人2同时行动(参与人1选择T或B，参与人2选择L或R)。给出这个博弈的扩展式表述(博弈树)并求纯战略贝叶斯纳什均衡。,表a,表b,解：在这个静态贝叶斯博弈中，参与人1的战略是私人信息类型的函数：当自然选择表a时选择T，当自然选择表b时选择B。 参与人2的战略则根据期望利润最大化决定。参与人2选择L的期望收益为0.51+0.50=0.5，选择R的期望收益为0.50+0.52=1，因此参与人选择R。,3.在3.2节的第2部分中，假定参与人1的成本也有两种可能，分别以相同的概率取c1=3/4

15、和c1=5/4，求贝叶斯均衡产量。,4.两个企业同时决定是否进入一个市场。企业i的进入成本i0, )是私人信息，来自独立的分布函数P(i)(密度函数p(.)严格大于0)。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数为m-i；如果两个企业都进入，企业i的利润函数为d-i；如果没有企业进入，利润为0。假定m和d是共同知识，且md0。问题：(1)指出这个博弈与3.2节第二部分的相同之处和不同之处；(2)计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的。,解：根据问题的假设，该博弈的得益矩阵为： 假设企业1采用如下的临界值战略：当1w时，采用“进入”战略；当1w时，采用“不进入”战略。 假设企业2采用如下的临界值战略：

16、当2t时，采用“进入”战略；当2t 时，采用“不进入”战略。,因此企业1采用进入战略的概率是p(w)，不进入的概率是1-p(w)；因此企业2采用进入战略的概率是p(t)，不进入的概率是1-p(t)； 从企业1的角度来看，选择进入和不进入的期望收益分别为： p(t)(d-1)+1-p(t) (m-1)=p(t) (d-m)+m- 1 p(t)0+1-p(t)0=0 当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业1会采用进入。所以企业1的进入条件是： p(t) (d-m)+m- 1 0或1 p(t) (d-m)+m 这样就得到企业1进入的临界值： w=p(t) (d-m)+m,从企业2的角度来看，选择进入和不进入的期望收益分别为： p(w)(d-2)+1-p(w) (m-2)=p(w) (d-m)+m- 2 p(w)0+1-p(w)0=0 当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业2会采用进入。所以企业2的进入条件是： p(w) (d-m)+m- 2 0或2 p(w) (d-m)+m 这样就得到企业2进入的临界值： t=p(w) (d-m)+m 在已知分布函数为P(i)的情况下，可从联立方程求得t和w，以这两个临界值构造的临界值战略，就是该博弈的贝叶斯均衡。,