《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质一学案苏教版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质一学案苏教版选修（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2.2.22.2.2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质( (一一) ) 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何 条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标 思考 观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎 x2 a2 y2 b2 样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 答案 (1)范围：axa，byb； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) 梳理 椭圆的几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上
2、 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标 (c,0) (0，c) 对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a 长轴、短轴长轴A1A2长为 2a，短轴B1B2长为 2b 2 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？ 答案 用离心率刻画扁圆程度，e越接近于 0，椭圆越接近于圆，反之，越扁 梳理 (1)焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率
3、c a 记为：e . c a (2)对于1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于 0，c就越接近于 0，从 x2 a2 y2 b2 而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图 形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图) 1椭圆1(ab0)的长轴长是a.() x2 a2 y2 b2 2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆() 3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为 1.() x2 25 y2 16 4设F为椭圆1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为 x2 a2 y2 b2 ac.(c为椭圆的半焦距)() 类型一
4、由椭圆方程研究其几何性质 例 1 求椭圆 9x216y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 解 已知方程化成标准方程为1， x2 16 y2 9 于是a4，b3，c， 1697 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6， 3 离心率e ，又知焦点在x轴上， c a 7 4 两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)， 77 四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3) 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x216y21” ，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐 标 解 由已知得椭圆标准方程为1， x2 1 9 y2 1 16 于是a ，b ，c. 1 3
5、1 4 1 9 1 16 7 12 长轴长 2a ，短轴长 2b ， 2 3 1 2 离心率e . c a 7 4 焦点坐标为和， ( 7 12，0) ( 7 12，0) 顶点坐标为，. ( 1 3，0) (0， 1 4) 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式， 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求 椭圆的基本量 跟踪训练 1 求椭圆 9x2y281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解 椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长 2a18，短 x2 9 y2 81a2b22 轴长 2b6，
6、焦点坐标为(0,6)，(0，6)， 22 顶点坐标为(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0) 离心率e . c a 2 2 3 类型二 椭圆几何性质的简单应用 命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为 ，焦距为 8； 1 2 4 (2)已知椭圆的离心率为e ，短轴长为 8. 2 35 解 (1)由题意知，2c8，c4， e ，a8， c a 4 a 1 2 从而b2a2c248， 椭圆的标准方程是1. y2 64 x2 48 (2)由e 得ca， c a 2 3 2 3 又 2b8，a2b2c
7、2，所以a2144，b280， 5 所以椭圆的标准方程为1 或1. x2 144 y2 80 x2 80 y2 144 反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c 所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置 跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)； (2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为 12. 解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意有Error!解得Error! 椭圆方程为1. x
8、2 148 y2 37 同样地可求出当焦点在y轴上时， 椭圆方程为1. x2 13 y2 52 故所求椭圆的方程为1 或1. x2 148 y2 37 x2 13 y2 52 (2)依题意有Error!bc6，a2b2c272， 所求的椭圆方程为1. x2 72 y2 36 命题角度2 最值问题 例 3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到椭圆上的 3 2 (0， 3 2) 点的最远距离是，求这个椭圆的方程 7 解 设所求椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 5 ，a2b. b a a2c2 a21e2 1 2 椭圆方程为1. x2 4b2 y2 b2 设椭圆上点
9、M(x，y)到点P的距离为d， (0， 3 2) 则d2x2 24b2 y23y (y 3 2) (1 y2 b2) 9 4 3 24b23， (y 1 2) 令f(y)3 24b23. (y 1 2) 当b ，即b 时， 1 2 1 2 df4b237， 2max ( 1 2) 解得b1，椭圆方程为y21. x2 4 当 0)，则此椭圆的离心率为_ 答案 3 3 解析 由 2x23y2m(m0)，得1， x2 m 2 y2 m 3 c2 ，e2 ，又0e1，e. m 2 m 3 m 6 1 3 3 3 2与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是_ 答案 x21
10、 y2 6 解析 由已知得c，b1，所以a2b2c26， 5 又椭圆的焦点在y轴上， 故椭圆的标准方程为x21. y2 6 3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 _ 答案 3 5 解析 由题意有，2a2c2(2b)，即ac2b， 又c2a2b2，消去b整理得 5c23a22ac， 即 5e22e30， 8 又0e1，e 或e1(舍去) 3 5 4若焦点在y轴上的椭圆1 的离心率为 ，则m的值为_ x2 m y2 2 1 2 答案 3 2 解析 焦点在y轴上，0b0)的焦点分别为F1，F2，F1F22，离心率e ，则椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆的标准方
11、程为_ 答案 1 x2 4 y2 3 解析 因为F1F22，离心率e ， 1 2 所以c1，a2， 所以b23，椭圆方程为1. x2 4 y2 3 5中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 3 2 _ 答案 y21 或1 x2 4 x2 4 y2 16 解析 若焦点在x轴上，则a2. 又e，c.b2a2c21， 3 23 方程为y21. x2 4 若焦点在y轴上，则b2. 又e，1 ，a24b216， 3 2 b2 a2 3 4 1 4 方程为1. x2 4 y2 16 6椭圆1 的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P x2 12
12、y2 3 的纵坐标是_ 10 答案 3 2 解析 设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2x轴， 因为a212，b23，所以c2a2b29，c3. 所以点P和点F2的横坐标都为 3. 故将x3 代入椭圆方程，可得y. 3 2 7椭圆(m1)x2my21 的长轴长是_ 答案 2m m 解析 椭圆方程可化简为1，由题意知m0，b0)的左，右焦点，P为直线x上一点， x2 a2 y2 b2 3a 2 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则E的离心率为_ 答案 3 4 解析 设直线x与x轴交于点M，则PF2M60， 3a 2 在 RtPF2M中，PF2F1F22c，F2Mc， 3a 2 故 cos60
13、， F2M PF2 3a 2 c 2c 1 2 解得 ，故离心率e . c a 3 4 3 4 二、解答题 12已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 x2 100 y2 64 C2的焦点在y轴上 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质 解 (1)由椭圆C1：1 可得其长半轴长为 10， x2 100 y2 64 短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e . 3 5 (2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x y2 100 x2 64 轴、y轴、原点对称；顶点：长轴
14、端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)， 焦点坐标(0,6)，(0，6)；离心率：e . 3 5 12 13分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是 ，长轴长是 6； 2 3 (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 解 (1)设椭圆的标准方程为 1 (ab0)或1 (ab0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由已知得 2a6，e ，a3，c2. c a 2 3 b2a2c2945. 椭圆的标准方程为1 或1. x2 9 y2 5 x2 5 y2 9 (2)设椭圆的标准方程为1 (ab0) x2 a2 y2 b2 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且 OFc，A1A22b， cb3，a2b2c218， 故所求椭圆的标准方程为1. x2 18 y2 9 三、探究与拓展 14已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，过点E x2 a2 y2 b2 的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1AF2B，F1A2F2B，则椭圆的离心率为 ( a2 c ，0) _ 答案 3 3 解析 由F1AF2B，F1A2F2B，得 ， EF2 EF1 F2B F1A 1 2 从而 ，整理得a23c2.故离心率e .
