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1、12.4.22.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由
2、抛物线y22px(p0)有Error!所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2顶点坐标O(0,0)通径长2p21抛物线关于顶点对称()2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同，但
3、是其离心率都相同()类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解 椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，x2 4y2 9抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3, p 2p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3 或x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于 4” ，求此抛物线的
4、标准方程解 由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F，直线l：x ，(m 2，0)m 2所以A，B两点坐标为，(m 2，m) (m 2，m)所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为 4，所以 2|m|4，1 2|m 2|所以m2.2所以抛物线的标准方程为y24x.23反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练 1 已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方x2 8y2 9程及抛物线的准线方程解 因为双曲线1 的右顶点坐标为(2，0)，所以 2，且抛物线的焦点在xx2 8y2 92p 22轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y28x，其准线方程为x2.22类
5、型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例 2 (1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若AB8，则直线l的方程为_(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_答案 (1)16 (2)xy10 或xy10 (3)7 2解析 (1)由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.(2)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l
6、与x轴垂直，则AB4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1)由Error!得k2x2(2k24)xk20，(*)则由根与系数的关系，得x1x2.2k24 k2又AB过焦点，由抛物线的定义可知ABx1x2p28，6，解得2k24 k22k24 k2k1.此时(*)式变为x26x10，满足0.所求直线l的方程为xy10 或xy10.4(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知ABAFBFx1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为 ，5 2又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为 1 .5 27 2反思与感悟 1.抛物线上任一点P(x0
7、，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线y22px(p0)，PF x0.|x0p 2|p 2(2)抛物线y22px(p0)，PF x0.|x0p 2|p 2(3)抛物线x22py(p0)，PF y0.|y0p 2|p 2(4)抛物线x22py(p0)，PF y0.|y0p 2|p 22已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2.p2 4(2)ABx1x2p(为直线AB的倾斜角)2p sin2(3)SABO(为直线AB的倾斜角)p2 2sin
8、(4) .1 AF1 BF2 p(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于 2p.跟踪训练 2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为 60，求AB的值；(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离解 (1)因为直线l的倾斜角为 60，所以其斜率ktan60.3又F，所以直线l的方程为y.(3 2，0)3(x3 2)联立Error!消去y得x25x 0.9 4若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，5而ABAFBFx1 x2p
9、 2p 2x1x2p，所以AB538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知ABAFBFx1 x2 x1x2px1x23，p 2p 2所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是 3，又准线方程是x ，3 2所以M到准线的距离等于 3 .3 29 2类型三 抛物线的综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例 3 抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求的最小值PF PA 解 抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1 于点N，由抛物线的定义可知PFPN，连结PA，在 RtPAN中，sinPAN，PN PA当最小时，
10、sinPAN最小，PN PAPF PA即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，切线PA的斜率一定存在，设PA的方程为yk(x1)，联立Error!得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，6此时cosNPA.PF PAPN PA22综上，的最小值为.PF PA22反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点2在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练 3 已知直线l1：4x3y60
11、和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案 2解析 由题意知，直线l2：x1 为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60 的距离，即d2.|406| 5命题角度2 定值或定点问题例 4 抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若AF，MF，BF成等差数列(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；(2)若MF4，OQ6(
12、O为坐标原点)，求抛物线的方程(1)证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则AFx1 ，BFx2 ，MFx0 ，x0为已知值p 2p 2p 2由题意得x0，x1x2 2线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，其中t0(否则AFMFBFp0)y1y2 2而kAB ，y1y2 x1x2y1y2 1 2py2 1y2 22p y1y2p t故线段AB的垂直平分线的方程为yt (xx0)，t p即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p,0)(2)解 由MF4，OQ6，得x0 4，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程p 27为y28x.反思与感悟 在
13、抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练 4 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点，4，求证：直线l必过一定点OAOB证明 设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2OAOBt2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，OAOB解得b2，
14、故直线过定点(2,0)1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案 y28x或y28x解析 设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，依题意得x ，代入y22px或y22px得|y|p，p 22|y|2p8，p4.抛物线的方程为y28x或y28x.2已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为 5，则m的值为_答案 4解析 由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以1 5，p8，故抛物线的方程为y216x，将点P(1，m)代入方程，得m4.p 283过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_.答案 8解析 抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为 3(1)4.由抛物线的定义及中位线定理得AB8.4已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为 45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为 8，则p_.答案 2解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为 45的直线的方程为yx ，p 2把xy 代入y22
