《2018_2019高中数学第1章常用逻辑用语1.3.2含有一个量词的命题的否定学案苏教版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019高中数学第1章常用逻辑用语1.3.2含有一个量词的命题的否定学案苏教版选修（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1.3.21.3.2 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定 学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否 定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题 知识点一 全称命题的否定 思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法 (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个质数都是奇数； (3)xR R，x22x10. 答案 (1)将量词“所有”换为“存在一个” ，然后将结论否定，即“不是平行四边形” ，所 以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形” ； (2)存在一个质数不是奇数； (3
2、)xR R，x22x11，使x22x30； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形 解 (1)其否定：任意x1，x22x30(假) (2)其否定：所有的素数都不是奇数(假) (3)其否定：所有的平行四边形都是矩形(假) 类型三 含量词的命题的应用 例 3 已知命题“对于任意xR R，x2ax10”是假命题，求实数a的取值范围 考点 含有一个量词的命题 4 题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围 解 因为全称命题“对于任意xR R，x2ax10”的否定形式为：“存在 xR R，x2ax10” 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题
3、 由于函数f(x)x2ax1 是开口向上的抛物线， 借助二次函数的图象易知a240， 解得a2 或a2. 所以实数a的取值范围是(，2)(2，) 引申探究 把本例中“假命题”改为“真命题” ，求实数a的取值范围 解 由题意知a240，解得a2,2 故实数a的取值范围为2,2 反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略 (1)对于全称命题“xM，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问 题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(af(x)min) (2)对于存在性命题“xM，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式能成立 问题，
4、通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max) (3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式存在性命题为真命题解决，同理，若 存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式全称命题为真命题解决 跟踪训练 3 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0 对于任意xR R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x，使不等式mf(x)0 成立，求实数m的取值范围 考点 含有一个量词的命题 题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围 解 (1)不等式mf(x)0 可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)
5、24 对于任意xR R 恒成立， 只需m4 即可 故存在实数m，使不等式mf(x)0 对于任意xR R 恒成立，此时，只需m4. (2)不等式mf(x)0 可化为mf(x)，若存在一个实数x，使不等式mf(x)成立，只需 mf(x)min. 又f(x)(x1)24， f(x)min4，m4. 所求实数m的取值范围是(4，) 5 1命题“xR R，xsinx”的否定是_ 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 xR R，xsinx 2已知a0 且a1，命题“x1，logax0”的否定是_ 答案 x1，logax0 解析 a0 且a1，命题“x1，logax0”的否定是“x1，l
6、ogax0” 3对x0，a0，故x 22， 1 x x1 x 当且仅当x1 时等号成立， 又a100. 答案 解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都 6 不是正三角形” ，故错误 1对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即 将“任意”改为“存在” ；第二步，将结论加以否定，如：将“”否定为“1 解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，xR R，sinx1. 4命题“nN N*，f(n)N N*且f(n)n”的否定形式是_ 答案 nN N*，f(n)N N*或f(n)n 解析 “f(n)N N*且f(n)n”的否
7、定为“f(n)N N*或f(n)n” ，全称命题的否定为存在性 命题 5已知p：xR,R,9x26x10，q：xR R，sinxcosx，则pq是_命 2 题(填“真” “假”) 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断 答案 真 解析 由于 9x26x1(3x1)20，所以p为假命题因为 sin xcosxsin 2 ， (x 4)2 所以q为真命题， 因此pq是真命题 6命题“对任何xR R，|x2|x4|3”的否定是_ 答案 存在xR R，|x2|x4|3 解析 全称命题的否定为存在性命题 7命题“每个函数都有奇偶性”的否定是_ 答案 有些函数没有奇偶性 解析 命题的量词
8、是“每个” ，即为全称命题，因此其否定是存在性命题，用量词“有些、 有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论 8若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_ 0， 4 答案 1 解析 0x，0tanx1，“x， 4 0， 4 tanxm”是真命题，m1，实数m的最小值为 1. 9已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是 _ 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 8 答案 3,8) 解析 因为p(1)是假命题， 所以 12m0，解得m3. 又因为p(2)是真命题，所以 44m0，解得mlgx，命题q：xR R，
9、sinxlg10， 即 81，故命题p为真命题； 对于命题q，取x， 2 则 sinxsin1， ( 2) 此时 sinxx，故命题q为假命题， 因此命题pq是真命题，命题pq是假命题， 命题p(綈q)是真命题，命题p(綈q)是真命题 二、解答题 12已知命题p：xR,R,4x2x1m0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 解 綈p是假命题， p是真命题 也就是xR R，有m(4x2x1)， 令f(x)(4x2x1)(2x1)21， 9 对任意xR R，f(x)1. m的取值范围是(，1 13已知命题p：“至少存在一个实数x1
10、,2，使不等式x22ax2a0 成立”为真， 试求参数a的取值范围 解 由已知得綈p：x1,2，x22ax2a0 成立 设f(x)x22ax2a， 则Error! Error!解得a3， 綈p为假， a3，即a的取值范围是(3，) 三、探究与拓展 14已知函数f(x)x2mx1，命题p：“对任意xR R，都有f(x)0” ，命题q：“存在 xR R，使x2m20” ，所以命题p的否定为“不等式f(x) 0 在实数集上有解” ，故m240，得m2 或m2.又命题q：“存在xR R，使 x2m20，所以3m(x21)，q：xR R，x22xm10，且pq为真，求实数m 的取值范围 解 2xm(x21)可化为mx22xmm(x21)为真， 则mx22xm0 对任意的xR R 恒成立 当m0 时，不等式可化为2x0，显然不恒成立； 当m0 时，由m0 且44m20， 所以m1. 若q：xR R，x22xm10 为真， 则方程x22xm10 有实根， 所以44(m1)0，所以m2. 又pq为真，故p，q均为真命题 所以m1 且m2， 所以m的取值范围为2，1)
