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1、1 概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题（含答案）1. 设 A， B是两个事件， 61)|(,31)()(BAPBPAP，求)|(BAP。解： 127 )(1)()()(1 )(1)(1)()()|(BPABPBPAP BPBAPBPBAPBAP2. 有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（ 1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。解：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙火炮命中目标（1）72.05 .07.08. 01)()()(1)(1)(CPBPAPCBAPCBAP（2） 47.0)()()()()()()()(
2、)()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBAPCBAPCBAPCBACBACBAP3. 盒中有10 个合格品， 3 个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求：（1）X的分布律；（2）求概率3 XP。解： X的全部可能取值为1，2，3，4 (1) 1310 1 XP，12101332 XP，1110122133 3 XP，32114XPXPXPXPX的分布律为 : X 1 2 3 4 kp 1310 265 14352861(2) 2625213XPXPXP4. 某汽车加油站的油库每周需油量X(kg) 服从
3、N（500，502）分布 .为使该站无油可售的概率小于 0.01 ，这个站的油库容量起码应多大？（注：99.0)325.2(）解：设这个站油库容量为h（kg）时能满足题目要求，则01.0)(hXP即99.0) 50500()(hhXP， 由已知得：325.250500h， 则)(25.616kgh. 2 5. 从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6 个产品 , 测得蓄电池的容量(A.h) 如下 : 甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 设蓄电池的容量服从正态分布, 且方差相等 , 求两
4、个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95% 置信区间。（2281.2)10(, 1.7,5.7, 5.138, 5.140025.02 22 1_ tSSYX注：）解025.0 2,05.0,95.01由 已 知 可 得3 .7 2, 1.7, 5.7,5 .138,5 .1402 22 122 22 1_SSSSSYX可 得7. 2S，两工厂生产的蓄电池的容量均值差的0.95 的置信区间为47.32337. 22281.25 .1385.1406161)266(025.0_ StYX=-1.47，5.47 6. 某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,得子样
5、观察值为：甲： 25，28，23，26， 29，22；乙： 28，23，30，25， 21，27。假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等, 试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平=0.05 ， ）？（注228.2)10(,33. 3;74.2025. 021tss）解：211210:HH检验统计量为2111nnsYXtw，0H的拒绝域为)2(|212nnttW由已知得：.33. 3,67.25, 6;74.2, 5.25, 62211synsxn于是.097.061 61049.367.255.2511049. 32) 1()1(21212 222 11nnsyxtn
6、nsnsnsww.,228. 2097. 0.228.2)10()2(,102,05.00025.021221异尼古丁含量没有显著差即可以认为两种香烟的所以不拒绝因为由已知得自由度对Httnntnnaa3 7.某公司所属8 个企业的产品销售资料如下表：企业编号产品销售额（万元）销售利润（万元）1 2 3 4 5 6 7 8 170 220 390 430 480 650 950 1000 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0 要求：计算产品销售额与利润额之间的相关系数。确定利润额对产品销售额的直线回归方程。确定产品销售额为1200 万元时利润额的估计值。
7、解答： （1）r=0.9934 （ 2）b=0.0742， a=-7.273 （ 3）x=1200 时， y=-7.273+0.0742 1200=81.77（万元）8.在其他条件不变的情况下，某种商品的需求量（y）与该商品的价格（x）有关，现对给定时期内的价格与需求量进行观察，得到下表所示的一组数据。价格 x（元）10 6 8 9 12 11 9 10 12 7 需求量 y（吨）60 72 70 56 55 57 57 53 54 70 要求：计算价格与需求量之间的简单相关系数。拟合需求量对价格的回归直线。确定当价格为15 元时，需求量的估计值解答： （1）r=-0.8538 （2）b=-3
8、.1209 a=89.74 （3）x=15 时， y=89.74-3.1209 15=42.93（吨）9.若机床使用年限和维修费用有关，有如下资料：机床使用年限（年）2 2 3 4 5 5 维修费用（元）40 54 52 64 60 80 计算相关系数，并判断其相关程度。解：81. 0 350213166218363502113006)()(222222yynxxnyxxynr说明使用年限与维修费用间存在高度相关。10. 设 A、B为两个事件且P(A)=0.6 ，P(B)=0.7. 问：（1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？解
9、： （1）1)S(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P)B(P7.0，4 即：6.0)AB(P3.0，所以（ 1）当BA时，)AB(P最大，且6 .0)A(P)AB(P，（2）当SBA时，)AB(P最小，且0.3B)P(A-P(B)()(APABP。11. 袋中有 3 个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第3 次摸球时摸到红球的概率？解: 设:iA第i次摸球时摸到红球)3 ,2, 1(i1212332313123()()()()()3 2 13 1 21 3 21 2 314 3 24 3 44 5 44 5 62P A
10、P A A AP A A AP A A AP A A A12.从大批彩色显像管中随机抽取100 只, 其平均寿命为10000 小时 , 可以认为显像管的寿命 X服从正态分布. 已知均方差40小时 , 在置信度0.95 下求出这批显像管平均寿命的置信区间。（注：025. 0z=1.96）解：这批显像管平均寿命的置信区间为)84.10007,16.9992()496.110000() 1004010000()(025. 02/z nzX13. 为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一个试验，用两架仪器同时对一组10 只热炽灯丝作观察，得数据如下：X（）1050 825 918
11、 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 Y（）1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 其中 X和 Y分别表示用第一架和第二架高温计观察的结果，假设 X和 Y都从正态分布， 且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（=0.05 ）?（注：.1009.2)18(05. 0t33.50517,21.51975,1178,2.116922 YxSSyx）解 ： 根 据 条 件这且.),(),(2 22 12 222 11NYNX里 的 问 题 归 结 为 假 设检验问题对21121
12、0:,:HH。由于两个总体X 和 Y 的方差未知，但根据条件DX=DY ，所以用t检验 . 检验统计量为mnsYXtw11. 根据条件.05.0,182,10,10anmvmn由已知得. 1. 2)18()(05. 02tvt于是，由知假设H0的否定域为.1.2 tW5 由已知得.33.50517,21.51975,1178,2 .116922 YxSSyx2) 1() 1(22 2 nmSmSnSyx w.42.512461833.50517921.519759.09.0)101 101(42.5124611782.116911 mnSYXtw由于,10. 209.0t所以不能否定假设H0.
13、 因此可以认为两架高温计所确定的温度读数之间无显著差异 . 14. 设 31)A(P，21)B(P。在下列三种情况下求)AB(P的值：（1）AB； （2）BA； （3） 81)AB(P。解： （1）由AB，得AB，所以BAB。 21)B(P)AB(P；（2）当BA时， 61)A(P)B(P)AB(P)B(P)AB(P)AB(P；（ 3） 83)()()(ABPBPABP。15.设有甲乙两袋，甲袋中装有3 只白球、 2 只红球，乙袋中装有2 只白球、 3 只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：设事件A=“从甲袋放入乙袋的是白球”， 事件B=“从乙
14、袋中取出两白球”。已知 151)|(,51)|(,53)(2 62 2 2 62 3 CCABPCCABPAPP(B)= P(AB)P(A)+)(PABP(A)= 751153515215116. 从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是 31，求：（1）以 X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律；（2）以 Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律；（3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。解： （1）) 31,6( BX6 6,.,2, 1 , 0,32 3166kCkXPkk k（2） 310YP，31321YP， , 6)32
15、(6;5,.,2 ,1 , 0,31)32(YpkkYPk(3)9122.0)011XPXP17. 产品的某一指标),(2NX，已知04.0，未知 . 现从这批产品中抽取n只对该指标进行测定, 问n需要多大 , 才能以95% 的可靠性保证的置信区间长度不大于0.01?（96.1z025.0注：）解：的置信度为0.95 的置信区间为：)/04.096.1()04.0()(025. 02/nX nzX nzX，则01.0/04.096. 12n，即16n。18. 某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73 根，均方差为1
16、.60 根。现在把经纱上浆率降低 20% ，抽取 200 台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89 根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平=0.05 ）？（96.1z025.0注：）解：0H：73.90，1H：0检验统计量为 nXU0，0H的拒绝域为z|2uW。计算得89.9x，41.1 20060.173. 989.90nxu对05.0a，由已知得.96. 1z2a因为96. 141.1u，所以不拒绝H0，即可以认为上浆率降低后对断头率没有显著影响。19. 将一枚骰子重复掷n 次，试求掷出的最大点数为5 的概率。解：设 5最大点数为A, n 次掷出的点数5， 有5种不同结果， 而 n 次掷出的点数4，有4种不同结果。所以n 次掷出的最大点数为5，有45种不同结果。故所求概率为7 nn Ap645)(n。20. 掷 3 颗骰子，若
