数学建模综合题影院座位设计问题

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1、数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04 班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04 班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程 03 班20123203 1 一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使 人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过030；记影院的屏幕高为h，上 边缘距离地面高为H, 影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与 屏幕水平距离分别为,d D， 观众的平均座高为 c （指眼睛到地面的距离） ， 已知参数h=1.8. H=5，

2、4.5,19dD， c=1.1( 单位 m)。 求解以下问题：(1) 地板线的倾角010时，求最佳座位的所在位置。 (2) 地板线的倾角一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线 倾角。二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权

3、的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型假设1. 忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度； 2. 观众对座位的仰角的满意程度呈线性； 3. 观众对座位的水平视角的满意程度呈线性； 4. 最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 5. 相邻两排座位间

4、的间距相等，取为0.8 m ； 6. 对于同一排座位，观众的满意程度相同； 7. 所有观众的座位等高为平均座高； 8. 影院的的地板成阶梯状。2 四、符号说明水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离仰角S观众对水平视角为的满意程度地板线与水平线的倾角S观众对仰角为的满意程度d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D最后一排离屏幕水平距离cc ,视角、仰角在综合满意度iS 中的权重h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距H屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解5.1 问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两 个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到

5、屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰， 引起不适，要求不超过030。 5.1.1 模型的建立：仰角在满足条件的范围内, 观众满意度只取决于视角 以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1 所示：其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为)tan,(xx， 屏幕上下点的坐标分别为),(cHdA，ctanxhcHhhHddDEStanxB O M N P 屏幕地面地板视觉线xc图 1 影院座位设计的剖面图x y 3 ),(chHdB，AP的斜率记为APk,B

6、P的斜率记为BPk。由斜率公式得：)(tantandxcHxkAP，)(tan)tan(dxchHxkBP(1.1)则直线AP和BP的斜率与夹角满足如下关系：)tan)(tan()()(1tan2chHxcHxdxdxhkkkkAPBPAPBP(1.2) 仰角满足条件：30,0所以：33 )(tan033tan0dxcHxtantan3333cHxdcH(1.3) 由公式 (1.1) (1.2)得到模型为：)tan)(tan()()(arctanmax2chHxcHxdxdxhtantan33330. .cHxdcHdDxts5.1.2 模型的求解 当10时，用Matlab软件运算求解（程序见

7、附录 1） ， 得最大视角为9522.13，仰角为30 ，7274.1x米。即P点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。离屏幕的 水平距离为米2274.67274.15 .4。 5.1.3 模型的建立：离散加权模型 在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l（查阅相关资料间距一般取0.8 米） ，则在水平方向的间距为cosl，考虑仰角和视角对 观众的满意度为主要因素。对模型进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos) 1(tancos)1()(tantandlkcHlkdxcHx(2.1) )tancos)1)(tancos)1()cos)

8、1()cos) 1(tan2chHlkcHlkdlkdlkh(2.2) 其中，nk, 3, 2, 1， n为地板线上的座位的总排数，且191 cos5 .14ln。一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的4 看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题 意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数 1如下：minmaxmin tantantantank kS (2.3) minmaxmin tantantantan1k kS (2.4) 式中kk,为第k排座位上观众视角和仰角，maxmax,表示在给定的情况下

9、最优 满意度，minmin,表示在给定的情况下最差满意度。 视角、仰角在综合满意度kS 中的权重分别为cc ,，建立第k排座位综合满意 度函数如下：ccScScSkk k(2.5) 根据地板线倾角10，通过计算可以得出8975.154210.5，9149.400451.4，主观给定权重4 .0,6 .0CC，根据模型的建立，可以得出：1357. 0tan5025.0tan1596.34.06 .04.06. 0kkkkkk kSSccScScS(2.6)将式(2.1)和式(2.2)带入公式 (2.6)得到优化模型为：1357.0)(cos) 1(tancos) 1(5025. 0)tancos

10、) 1)(tancos) 1()cos) 1()cos) 1(*1596. 3max2dlkcHlkchHlkcHlkdlkdlkhSk19, 3,2, 1,cos)1(tantan33330klkxcHxdcHdDxts5.1.4 模型的求解 用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2x米，4k排，最大满意度为6176. 04S, 最大视角为1282.13， 仰角为9084.26,最佳位置离屏幕的水平 距离为米8635.63635.25 .4。 5.2 问题二 5.2.1 模型的建立 要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S的最大值。由模型可知，第k 排观众的满意度为S

11、, 则观众平均满意程度函数为：nSSnkk 1，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的满意 程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大； (2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。 由式(1.1) 可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生5 改变，且在某一座位 ( 即 x取某一定值 )，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐 渐增大，见图 2 所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大, 仰角不超过条件的座位所占的比例越大。0246810121416

12、18206.86.856.96.9577.057.17.15 角变化角变化 随 的变化曲线024681012141618200246810121416 角变化角变化 随 的变化曲线图 2 视角和仰角随变化的变化曲线第一排观众的仰角为9149.40，不满足仰角的条件，由模型可知第k排座位所对应的仰角的正切值：nk dlkcHlk k, 3,2, 1, )(cos)1(tancos)1(tan其中n为地板线上的座位的总排数：1 cos5 .14ln，随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距l不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过20，所以2019n，并限制最后一排观众的

13、视高不要超过屏幕的上边缘，即0543.15。由模型可求出第k排座位所对应的水平视角的正切值为：)tancos)1)(tancos)1()cos)1()cos) 1(tan2chHlkcHlkdlkdlkh5.2.2 模型的求解让地板线倾角在20,0内逐一取值 , 步长为01.0；让 x在5.14,0内逐一取值 , 步长为 0.01 。对一个取定的，判断 x所在的位置仰角是否超过30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座位的综合满意度相加， 并求出观众的平均综合满意度， 判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并

14、记下最大值时的取值。当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出8975.151143.5，9149.400。6 由模型的 (2.5) 式得： 4.06 .04.06 .0kkkk kSSccScScS（3.1 ）所以，将式 (2.1)和式(2.2)带入公式 (3.1)得到平均满意度的优化模型为：nSSnkk 1max取整数其中 nnklkxdDxnts, 2, 1,cos)1(00543.1502019.用Matlab软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为6572. 0S，对应地 板线的倾角为0543.15。5.3 在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步

15、 提高。 5.3.1 模型的建立与求解 由上两问可知 , 观众的满意程度与仰角 , 视角和地板线倾角都有关 , 而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变化 情况。引理地板线不管设计成什么形状, 各排的间距不变， 区别在于各排的高度差如何变化， 若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平 分线越近，动点与两定点形成的视角越大。要使每一个座位所对应的视角取最大值, 对应的 y值应在直线上 . 设计地板线应考虑 以下几个方面： (1) 第k排座位所

16、在的位置应高于第1k排座位所在的高度； (2) 前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3) 视角尽可能大 , 即眼睛的位置应尽可能分布在垂 直平分线的附近； (4) 仰角的座位所占的比例尽可能大。假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为l，第k排座 位地板线倾角为k，第k排座位与第1k排座位地板线倾角变化为。从而可得：)1(0kk，故：)() 1() 1tan()() 1(tan) 1( tan11 dlkcHkldlkcHlknknkkk同理可得：7 )1tan(cos)()1tan(cos()cos)1()cos)1()tancos)1)(tancos)1()cos)1()cos)1(tan1122chHkllcHklldlkdlkhchHlkcHlkdlkdlkhn