不等式复习资料

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1、不等式百科名片不等式用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系, 不全是等号, 含不等符号的式子，那它就是一个不等式. 例如 2x2y2xy，sinx 1，ex0 ，2x3，5x5 等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、 小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。目录不等式 (inequality)简介不等式的最基本性质解不等式可遵循的一些同解原理注意事项不等式证明方法重要不等式其他重要不等式例题不等式 (inequality)简介不等式的最

2、基本性质解不等式可遵循的一些同解原理注意事项不等式证明方法重要不等式其他重要不等式例题展开编辑本段不等式 (inequality)简介用不等号 将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系 , 不全是等号, 含不等符号的式子，那它就是一个不等式 . 例如 2x2y 2xy，sinx 1， ex 0 ，2x3，5x 5 等 。根据解析 式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是 代数式 的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg(1 x) x 是超越不 等式。不等式分 为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“

3、”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“”“ ”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。通常不等 式中的数是实数， 字母也代 表实数，不等式的一般形式为 F(x ，y，, ，z) G(x， y，,，z ) （其中不等号也可以为，中某一个），两边的解析式的公共定义域 称为不等 式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。编辑本段不等式的最基本性质如 果 x y，那么 yx；如果 yx，那 么 x y；如 果 x y， yz；那 么 xz；如 果 x y，而 z 为任意实数或整式 ，那么 xz yz； 如 果 x y，z0，那 么

4、 xzyz；如果xy，z0，那么 xz yz; 如 果 x y， z 0, 那么 xz yz; 如果 xy， z 0, 那么 xzyz。如 果 x y， m n，那 么 x+m y+n(充分 不必要条件 ) 如 果 x y 0，m n0，那 么 xmyn 如 果 x y 0，那么 x 的 n 次幂 y 的 n 次幂（ n 为正数）如果由不 等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以下是其中比较有名的。编辑本段解不等式可遵循的一些同解原理主要的有 ：不等 式 F（ x）G （x）与不 等式 G（ x） F（x）同解。如果不 等式 F（x） G （ x）的定义域被解析式H （

5、x ）的定义域所包含 ，那么不等式F（ x） G （x）与不等式F（x） H （x）G （x）H（x）同解。如果不 等式 F（x） G （x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并 且 H （ x） 0，那么不等式F(x) G （x）与不等式H（x）F（x） H （ x ） G （x） 同解；如果H（x） 0，那么不等式F（x） G （x）与不等式 H (x)F （x） H（x）G （ x）同解。不等 式 F（ x）G（x） 0 与不等式同解；不等式F（x） G （x） 0与不等式同解。编辑本段注意事项1. 符号：不等式两 边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。2. 确定 解 集：比

6、两个值 都大，就比大的还大；比两个值 都小，就比小的还小；比大的大 ，比小的小，无解；比小的大 ，比大的小，有解在中间。三个或三 个以上 不等式组 成的不等式组，可以类推。3. 另外， 也可以在数轴上确定解集：把每个不 等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。4. 不等式 两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）5. 不等式 两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化 1，这是得正数才能使用）6. 不等式 两边乘或除以同一个负数，不等号的

7、方向改变。（或1个负数的时候要变号）编辑本段不等式证明方法1. 比较法 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法( 简称为求差法 )和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a- b 0a b； a- b0ab” 。其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等

8、式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、 分式或对数式时一般使用差值比较法。(2)商值比较法的理论依据是：“若a，bR+ ，a/b 1ab； a/b1a b”。其一般步骤为：作商：将左右两端作商；变形：化简商式到最简形式；判断商 与 1 的大小关系，就是判定商大于 1 或小于 1。应用范围 ：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。2. 综合法 利用已知事实( 已知条件、重要不等式或已证明的不等式 ) 作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知

9、”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3, BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论 B。3. 分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明 AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 , BnA，书写的模式是：为了证明命题 B成立，只需证明命 题 B1为真，从而有, ，这只需证明B2 为真，从而又有 , ，,这只需证 明 A 为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。4. 反证法

10、 有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设A B，由题设及其它性质，推出矛盾 ，从而肯定AB。凡涉及到的 证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。5. 换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。 (1) 三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数

11、表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：若x2+y2=1，可设 x=cos，y=sin ；若 x2+y2 1，可设x=rcos ，y=rsin (0 r 1)；对于 含有的不等式，由于|x| 1，可 设 x=cos ；若 x+y+z=xyz ， 由 tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可 设 x=taaA ，y=tanB ， z=tanC ，其中 A+B+C= 。 (2) 增量换元法：在对称式 (任意 交换两个字母，代数式不变) 和给定字母顺序( 如 abc 等) 的不等式，考虑用增量法进行换元，

12、其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如 a+b=1，可以 用 a=1-t ， b=t 或 a=1/2+t ， b=1/2-t进行换元。6. 放缩法 放缩法是要证明不等式A0 (i=1,2,n) 则，当且仅当bi=lai (1in)时取等 号2. 设 ai,bi同号且不为零(i=1,2,n)，则，当且仅当b1=b2=,=bn时取等柯西不等 式的一般证法有以下几种： Cauchy 不等式 的形式化写法就是：记 两列数分别是ai, bi ，则有( ai2) * (bi2) (ai * bi)2. 我们令f(x) = (ai + x * bi)2 = (bi2) * x2 + 2 *

13、(ai * bi) * x + ( ai2) 则我们知道恒有f(x) 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 = 4 * ( ai * bi)2 - 4 * ( ai2) * ( bi2) 0. 于是移项得到结论。用向量来证. m=(a1,a2an) n=(b1,b2bn) mn=a1b1+a2b2+anbn=(a1+a2+an)1/2乘以(b1+b2+bn)1/2乘 以 cosX因为 cosX 小于等于1，所以：a1b1+a2b2+anbn小于等于a1+a2+an)1/2乘以(b1+b2+bn)1/2 这就证明了不等式 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法【柯西不等式的应

14、用】柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数：例：设 a、b、c 为 正数且各不相等。求证：(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)(9/a+b+c) 分析： a 、b 、 c 均为正数 为证结 论正确只需证：2(a+b+c)(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 证明2(a+b+c)(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)=(a+b)+(a+c)+(b+c)1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a) (1+1+

15、1)(1+1+1)=9 又 a 、b 、 c 各不相等，故等号不能成立原不 等式成立。 2排序不 等式对于两组 有序的实数x1 x2, xn，y1y2, yn， 设 yi1 ，yi2 ，, ，yin 是后一组的任意一个排列，记 Sx1yn x2yn-1 , xny1， M x1yi1 x2yi2 , xnyin ，Lx1y1 x2y2 , xnyn，那么恒有S M L。编辑本段其他重要不等式琴生不等 式均值不等 式绝对值不 等式权方和不 等式赫尔德不 等式闵可夫斯 基不等式贝努利不 等式编辑本段例题例 1 : 判断下列命题的真假, 并说明理由 . 若 ab,c=d, 则 ac2bd2;( 假, 因为 c.d 符号不定 ) 若 a+cc+b, 则 ab;( 真) 若 ab 且 abb;( 真 ) 若 |a|b2;(充要条件 ) 说明 : 本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程, 在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. 例 2 ： a,b R且 ab, 比较 a3-b3 与 ab2-a2b 的大小.( ) 说明 : 强调在最后一步中, 说明等号取到的情况 , 为今后 基本不等式 求最值作思维准备. 例 3 : 设 ab,n 是偶数 且 n N*,试比