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1、第二章 控制系统的数学模型,主要内容：,1、建立被控对象的数学模型,2、控制系统的数学描述方法,l 微分方程 l 状态空间方程 l 传递函数 l 方块图 l 信号流图,定义：,控制系统的数学模型：控制系统各变量间关系的数学表达式称之为控制系统的数学模型。,建立系统的数学模型的两种方法：,机理分析法（简称分析法）,通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。,实验辨识法,人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型称为辨识模型。此方法称为系统辨识是控制理论的一个重要分支。,1 控制系统的微分方程模型,用微分
2、方程描述系统输入输出的动态特性是建立数学模型的一种基本方法。,1.1 数学模型方程的建立,例2-1-1,i,Uc,图2-1 RC电路网络,确定输入(自变量)和输出变量(因变量)。,电阻和电容的串联网络，其中U为输入电压，Uc为输出，建立两者关系的微分方程。,输入:U;,输出:Uc,(3) 消去中间变量i，得到最终的方程。,对第2式两边求导：,若设T=RC ,（2-1-2）,上式为一阶线性微分方程，因此这个RC电路是一阶线性(定常)系统。,代入第1式：,(2) 根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔霍夫定律）。,（2-1-1）,R,T,例2-1-2,下图是一个液体贮槽的示意图。,要求列出液位
3、h对流入量Qin之间的关系式。,Qin,A,Qout,图2-2 液体贮槽,（1）确定输入输出变量.,入（自变量）：Qin ，出（因变量）：h,（2）利用物料（能量）平衡式：,物料( 能量) 蓄存量的变化率 = 单位时间进入的物料( 能量) 单位时间流出的物料( 能量),（2-1-3）,（3）消去中间变量Qout，,Qout是中间变量。根据流体力学有,（2-1-4）,其中， ：阀的流通面积， ：阀的节流系数，设两者均为常数（为常数）。,（除常数外，只含输入输出变量）,把（2-1-4）代入（2-1-3）可得：,（2-1-5）,（2-1-3）,（2-1-4）,（4） 增量化,原因：,便于方程简化和求
4、解，相当于设初始条件（稳态条件）为零。,主要关心被调参数在平衡点（设定值）附近的变化情况，即参数偏离平衡点的变化量。因此，把变量转换为增量形式，构成增量方程。,益处：,便于线性化。,如：,步骤：,1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）：,2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和，,(1),(2),代入原方程：,3. 改变后的动态方程式减去稳态方程(2)-(1)，得到增量方程式。,（2-1-6）,注意：在不引起混淆的场合，号常常省略。,(2),(1),(2)-(1):,整理,(5) 线性化,原因：,工程中大多数系统都是非线性的。 非线性微分方程式求解复杂 线性系统理论和方法成熟,条件：,变
5、量间关系在平衡点附近的小范围内是线性的，把非线性方程局部线性化（增量化的理由）,方法：,将非线性函数yf(x)在平衡点 ( ) 附近展开成泰勒级数，即,图2-3 非线性特性的线性化,由于增量x = 很小，展开式中增量的高次项可以忽略，则上式可近似写成线性化方程：,非线性特性的线性化，实质是以过平衡点的切线代替平衡点附近的曲线。,和,y0,x0,x,y,y,x,根据公式对（2-1-6）式中的非线性项（2-1-4）线性化。将此式在平衡工作点(h0)处展开成泰勒级数，并忽略增量h的高次项，则非线性的函数即近似为：,（2-1-7）,将（2-1-7）式代入（2-1-6）式，,设,去掉号，,写成标准形式，
6、,（2-1-8）,K：放大倍数，T：时间常数，具有物理意义。,设,例2-1-3,当输出流量是两个变量的函数时，使用2元泰勒级数展开：,贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。,其流出量的方程为：,（2-1-4）,Qin,A,Qout,把（2-1-4）式线性化,（2-1-9）,令,（R称为阻力系数），,得到：（各变量分别用稳态值+增量值表示）：,(二元的泰勒级数展开式)：,考虑到平衡关系式：,上式可整理为增量化方程：,（2-1-10）,上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器作用）共同作用下，液位的变化关系。因为已转化为线性系统。,(6) 无因次化,比较RC电路模型(2-1-2),(2-1-2)
7、,(2-1-8),使用相同的微分方程（两个特征参数T和K）描述不同的物理对象和参数（电压V，液位m）。,去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。,抽出不同的物理背景，便于分析、研究共性的规律,目的：,方法：,和一阶贮槽模型(2-1-8)式，,步骤：,以一阶贮槽模型（2-1-8）式为例，,两边均被各自的稳态值去除,根据（2-1-8）式，,当 时，, 定义新变量,代入：,还可设,各变量均为无因次的相对值。,代入：,（2-1-8）,总结：,建立系统数学模型的一般步骤：, 消去中间变量，列出描述系统输入与输出关系的微分方程。, 根据物理或化学规律列出描述系统运动规律的一组微分方程。, 首先要确定系统的输入
8、量和输出量。, 方程处理：, 列写静态方程 将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示 将上式方程与静态方程相减,线性化,增量化：, 每个变量除以稳态值 定义无因次的新变量,无因次化,总结：,建立系统数学模型的一般步骤：,（对非线性方程，在平衡点附近做泰勒级数展开，取一阶近似）,1.2 线性系统的特性和分析,两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。,线性系统,可叠加性：,当f(t)=f1(t)时，方程有解y1(t), 当f(t)=f2(t)时，方程有解y2(t)， 当f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为y1(t)+y2(t),表明，两个外力同时作用于系统所产生的总输出，等于各个外力单独
9、作用时分别产生的输出之和。,+,+,均匀性：,当f(t)=Af1(t)时，A为常数，y(t)=Ay1(t)，,表明：当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。,例2-1-3中，,（2-1-10）,液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可分别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。,即输出随输入同比例缩放。,1.3 纯滞后特性,某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。,溶解槽中的浓度控制系统,图2-4 溶解槽及滞后特性,一阶无纯滞后对象特性,一阶纯滞后对象特性,2 控制系统的状态空间模型,微分方程,两种表示方法可以互相转换。,状态空间方
10、程, 单输入、单输出线性定常系统, 多变量系统，现代控制理论的数学描述方法,2.1 状态空间的基本概念,被控对象的变量可以分为三类：,n 输入变量（控制变量和干扰变量）,n 输出变量（被控变量）,n 状态变量（表征系统内部特征的变量）,对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为,其中，,A：系数矩阵nn 维，,D：关联矩阵mr,C：输出矩阵mn，,B：控制矩阵nr 维，,y：m 维向量。,u：r 维向量，,x：n 维向量，,（2）状态变量可以测量或不可测量。,（1）状态变量的选取不是唯一的，,注意：,2.2 状态空间方程的建立,例2-2-1,力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。,列出以拉力F
11、i为输入，以质量单元的位移y为输出的状态方程。,（1）确定输入变量：,图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统,系统入: Fi， 出：y,（2）基本定理：,（2-2-1）,古典力学系统符合牛顿第二定律,其中，弹簧阻力,壁摩擦力,k是弹簧的弹性系数。,f是摩擦系数。,代入（2-2-1）式：,（2-2-2）,弹簧平移运动是一个二阶线性系统。,（3）定义状态向量、控制向量和输出向量,整理（2-2-2）式,（2-2-2）,（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一 阶微分方程组的形式,以进一步表示为矩阵形式：,和,得到,系统系数矩阵,控制矩阵,输出矩阵,输出方程,状态方程,归纳建立状态方程的步骤：,（1）确
12、定系统的输入变量和输出变量。,（4）整理表达式为 的形式。,（5）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出输出方程 。,（3）根据微分方程的阶次, 选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。,（2）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性特性则作线性化处理。,例2-2-2,如图由两个液体贮槽串联组成。,由以前分析可知，经线性化后：,Qi,h1,A1,R1,Q1,h2,A2,R2,Qo,图2-6 液体贮槽,在这个系统中，液位h2作为被控变量，调节阀的开度f是控制变量。,建立模型：,在例2-1-3 中已得到（去除号）,（2-1-10）,确定输入输出变量,(2) 根据物料守恒定律
13、列出原始方程,整理：,入(自变量)：Qin(扰动量)、f：(控制量)， 出：h2,(3) 选择系统的状态变量X、控制变量U和输出变量y,选择,(4) 列写状态方程,上面方程可改写：,(5) 列写输出方程,此例中，二阶贮槽系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵是,通过方程求解，,（1）能够知道被控变量h2随扰动量Qin、控制量f的变化情形,（2）可以了解系统内部的变量h1的变化情况,注意：,状态变量个数由方程阶次决定，n 阶系统有n 个状态变量；,(2) 各矩阵维数：系数矩阵 nn，控制矩阵 nr，输 出矩阵 mn。,状态变量选择不是唯一的，如可选 ，则状态方程不同。,状态方程只能描述线性系统，非线
14、性系统需线性化后方可使用。,3 控制系统的复域数学模型,初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉 斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。,记作,把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代数运算，类似对数运算。,定义：,3.1传递函数,它的常用基本性质：,微分定理,若初始条件为零，则有,位移（滞后）定理,终值定理,初值定理,初始条件为零时，,积分定理,它的常用基本性质：,几种典型环节的传递函数：,一个对象的传递函数可以由表达其动态特性的微分方程式经拉氏变换得到。,（1）比例环节：,（2）一阶惯性（滞后）环节：,几种典型环节的传递函数：,（3）二阶环节：,几种典型环节的传递函数：,（4）高阶环节：,两端
15、进行拉氏变换得,通式,总有 (nm) ，真分式；n=1，一阶系统；n=2，二阶系统； n3 ，高阶系统。,几种典型环节的传递函数：,（5）积分环节：,（6）微分环节：,几种典型环节的传递函数：,（7）PID环节：,几种典型环节的传递函数：,（8）纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节：,根据拉氏变换的位移定理，,几种典型环节的传递函数：,注意：,2、传递函数分母中S 的最高次幂表示系统的阶次。,1、微分方程与传递函数是一一对应的，典型环节的传递函数要牢记 。,3、含 项，表示带有纯滞后特性。,3.2方块图,Y(s),E(s),X(s),-,方块图：应用函数方块描述信号在控制系统中流通过程的图解表示法, 系统每一环节用一个方块表示，里面写上它的传递函数各变量用它的拉氏变换式表示。,3.2方块图, 方块之间的连接按控制信号的作用关系（信号流向而不是工艺流程）用有向线段（箭头）画出。, 输入信号指向方块图，输出信号从方块图指出。, 输出信号Y(s)是输入信号与方块内传递函数运算的结果：Y(s)=G(s)X(s),1、方块图中的基本符号,利用方块图计算、分析整个控制系统。,注意：画图规范，箭头、加减号、变量符号,
