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1、第五章 线性系统的频域分析方法 (Frequency-domain analytic approach),5-1 频率特性 5-2 典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 5-3 频率域稳定判据 5-4 稳定裕度 5-5 闭环系统的频率性能指标 5-6 基于MATLAB的控制系统频域分析简介,控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。,系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。,用频率特性研究线性系统的方法称为频域分析法。,特点：,1) 系统及元部件的频率特性可用解析法和实验法获得。在其基础上, 系统分析和控制器设计可用图解法进行。,2) 频率特性物理意义明确。各阶系统的频域性能指标
2、和时域性能指标间有确定或近似的对应关系。,3) 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和抑制噪声两方面的要求。,4) 不仅适用于线性系统，还可以推广应用于非线性系统。,5-1 频率特性,1 基本概念,图示RC网络，设电容C的初始电压为uo0，取输入信号为正弦信号,RC网络的运动微分方程为,T=RC为时间常数,上式取拉氏变换，并代入初始条件uo(0)= uo0,代入,再由拉氏逆变换,上式第二项,上式第一项,有三个极点,故,1,因此,第一项随时间增长而趋于零，为输出的瞬态分量； 第二项为输出的稳态分量。,令,A()和 ()为输入正弦信号频率的函数，反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量幅值和相位的变
3、化。,幅值比,相位差,输入信号,稳态输出,RC网络的稳态输出仍为正弦信号，频率与输入信号的频率相同，幅值较输入信号有衰减，相位存在延迟。,RC网络传递函数,取s=j代入,由,故,观察：,A()和()分别为G(j)的幅值|G(j)|和相角G(j).,具普遍性,综上,频率特性的指数表达形式,当输入为正弦信号时，系统输出的稳态分量为同频的正弦信号。输出幅值与输入幅值之比A()称为幅频特性；相角之差()称为相频特性。两者之和称为频率特性。,频率特性也是系统数学模型的一种表达形式。,求法：, 解析法：, 实验法：,输入端施加不同频率的正弦信号，测量系统输出的稳态响应，再根据幅值比和相位差作出系统的频率特
4、性曲线。,2 频率特性的几何表示,(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图),将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A() ，向量与正实轴夹角为 ()，则变化时，相应向量的矢端曲线即为幅相曲线。,G( j)=A()e j() ，G(-j)=A()e -j(),：0+和：0 -的幅相曲线关于实轴对称,只绘制从零变化至+的幅相曲线。,用箭头表示增大时幅相曲线变化方向,对于RC网络,幅相曲线为一半圆,A()偶, ()奇,(2) 对数频率特性曲线 (Bode图),对数幅频和对数相频曲线两部分，分别画在半对数坐标系上, 对数幅频特性曲线：,横坐标： lg，按常用对数分度。,纵坐标： L(
5、)=20lgA() ，按线性分度。单位为分贝(dB).,变量每变化10倍(十倍频程dec), 坐标间距离变化一个单位长度。,横坐标对数分度，纵坐标线性分度，称为半对数坐标系。, 对数相频特性曲线：,横坐标： 常用对数分度，同上。,纵坐标： () , 线性分度，单位为度().,0.01,0.01,RC网络T=0.5时的对数频率特性曲线,原点不为零，不定,在对数坐标上确定点,在对数频率特性曲线中，横坐标1和2之间的距离为lg2-lg1, 连接两点(1, L(1)和(2, L(2)的直线方程,L(2)- L(1)=k(lg2-lg1),k(dB/dec)为直线斜率,+20dB/dec,(3) 对数幅
6、相曲线(Nichols图),纵坐标为L()，单位分贝(dB)，横坐标为 ()，单位度 () ，均为线性分度，频率为参变量。,RC网络T=0.5时的Nichols图,5-2 典型环节和开环频率特性曲线绘制,根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解成因式，再将因式分类，得到典型环节。,1 典型环节,开环系统可表示为若干典型环节的串联形式,设典型环节的频率特性为,则系统开环频率特性,幅值相乘，相角相加,系统的开环幅频特性和相频特性,系统开环对数幅频特性,系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成,开环对数频率特性为诸典型环节对数频率特性的叠加,典型环节分为两大类。最小相位环节和非最
7、小相位环节。,由最小相位环节构成的系统称为最小相位系统，而含有非最小相位环节(包括延迟环节)的系统称为非最小相位系统。,最小相位环节：,非最小相位环节:,非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于其零极点在s平面的位置。,特点:某个参数的符号相反,除积分微分外，最小相位环节有对应的非最小相位环节,不稳定环节,设有两个系统,和,显然前者为非最小相位系统，后者为最小相位系统。,从Bode图上知，它们之间的幅频特性相同,但存在着不同的相频特性，其中相位变化范围最小的即是最小相位系统。,最小相位系统(或环节)的一个重要特征：给定了其幅频特性，也就决定了相频特性，反之亦然。,2 典型环节的频率特
8、性,(1) 典型环节的频率特性曲线, 比例环节, 积分环节, 微分环节, 惯性环节,1/T：交接频率或转折频率,对数幅频渐进特性曲线, 一阶微分环节,1, 二阶振荡环节,n为交接频率,对数幅频渐近线,求谐振峰值,令,时,(a),谐振频率,(b),时,A()单调，无谐振频率,将r代入A()表达式， 求得谐振峰值,时,=0, 二阶微分环节,工程上为简便，常用对数幅频渐近线，但存在误差,惯性环节误差曲线,振荡环节误差曲线,需要时，根据误差曲线，可修正渐进特性曲线，获得准确值。, 延迟环节,输出量毫不失真地复现输入量，但时间上存在延迟的环节,根据拉氏变换的位移定理,故延迟环节的传递函数,因此延迟环节的
9、频率特性为,幅相曲线是个圆，圆心在原点，半径为1.,对数相频曲线中, 越大，相角迟后越大。,幂级数展开,串联延迟环节对系统开环频率特性影响,幅值不变，相角滞后,顺时针为负,延迟环节串联在系统中，则G(s)的分子有正根，有开环零点位于s右半平面。,a, b, c均为正值,含有延迟环节为非最小相位系统,(2) 典型环节频率特性曲线的若干特点, 最小相位和对应的非最小相位环节,惯性环节,非最小相位惯性环节,惯性,非惯性,惯性,非惯性,幅频特性相同，相频特性相反,对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0线对称。,幅相曲线关于实轴对称；,由此可绘制出与前述最小相位环节相应的非最小相位环节频率特性曲线，见教材
10、, 传递函数互为倒数的典型环节,设有下述关系成立,且,则,对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0线对称。,惯性,惯性,一阶微分,一阶微分,振荡环节和二阶微分环节类似，见教材。,3 开环幅相曲线绘制,用于判定闭环系统的稳定性，一般只需概略地绘制。,三要素：,(1) 起点(=0+)和终点(= ),(2) 与实轴和虚轴的交点,特别是和负实轴的交点,令ImG(jx)H(jx)=0, 与实轴交点,可得满足此式的x,穿越频率,当x0时，,ReG(jx)H(jx)为幅相曲线和实轴交点。, 与虚轴交点,类似地，令ReG(j)H(j)=0, 可得幅相曲线和虚轴交点。,(3) 开环幅相曲线的变化范围(象
11、限、单调性、渐近线等),试绘制系统开环幅相曲线。,例 设某型系统的开环传递函数为,解：系统开环频率特性,易得,给定0+到+一系列i(i=1,2,)，依ReG(ji)H(ji)和ImG(ji)H(ji), 或A(i)和 (i)。在复平面中画出这些点，并连成曲线即可得到幅相曲线图。,此外，观察该系统开环传递函数由四个典型环节组成：比例环节、积分环节和两个惯性环节。,系统频率特性,其中,幅值变化,相角变化,由此可确定曲线起点和终点,起始点处渐进线：,与实轴交点,令,舍去,于是与实轴交点,与虚轴无交点 (除终点),由此作系统开环幅相曲线，虚线为幅相曲线的低频渐近线。,例 设系统的开环传递函数为,试绘制
12、系统的开环幅相曲线。,解：系统开环频率特性为,可知,两者不为0，与实虚轴无交点,开环系统可分解为四个典型环节:比例环节G1，积分环节G2，惯性环节G3和等幅(=0)振荡环节G4.,对于各典型环节有：,故开环系统的幅频特性和相频特性分别为：,起点,终点,开环系统含有等幅振荡环节, 趋于n时, A(n)趋于无穷大,而在n附近的相频特性,注意频率在n附近：,说明 () 在=n的附近，相角突变-180, 幅相曲线在n处呈现不连续现象。,系统开环概略幅相曲线如图。,总结绘制幅相曲线的规律(最小相位系统)：,1) 开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K和系统积分或微分环节的个数v (型别),v 0, 起点为
13、v (-90 )的无穷远处,2) 开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子多项式的阶次m、分母多项式的阶次n (一般nm)。,3) 若开环系统存在l个等幅振荡环节, 即开环传递函数为,相角在n附近突变 -l180,l=1时,4 开环对数频率特性曲线（Bode图）,系统开环传递函数作典型环节分解后,根据,可先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法绘制开环系统的对数频率特性曲线。,例 已知系统开环传递函数,要求绘制系统的开环频率特性的Bode图.,解：首先将G(s)中的各因式写成标准形式的典型环节(常数项为1的形式),系统可看作4个典型环节串联：比例环节G1，一阶微分环节G2,惯性环
14、节G3,惯性环节G4.,20lg2,45,-45,分别在半对数坐标上绘制4个典型环节的对数幅频和相频特性曲线, 如图(a)和(b)的曲线1,2,3,4所示。在其基础上采用叠加方法可得到系统开环对数频率特性曲线。,相频曲线也可取若干频率点, 列表计算各点相角并标注在坐标图中，最后将各点光滑连接。,工程上，常用开环系统的对数幅频渐近特性线。,研究其绘制方法,任意开环传递函数，其组成的各典型环节分为三部：,(1) 比例、积分、微分环节,或,对数幅频特性曲线本身即为直线,斜率为-20dB/dec,通常取点：(1, 20lgK),(2) 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接
15、频率为1/T，斜率为 20dB/dec,(3) 二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为n，斜率为 40dB/dec,过点：(0, L(0),记min为最小交接频率, 称min时为低频段。,开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：,(1) 开环传递函数典型环节分解；,(2) 确定一阶、二阶环节的各交接频率，并标注在轴上；,(3) 绘制低频段渐近特性线,由于一阶、二阶环节的对数幅频渐近线在其交接频率前斜率为0dB/dec，并在交接频率处斜率发生变化。故在低频段，开环幅频渐近特性取决于比例和积分、微分环节。,斜率为-20dB/dec,过点：(1, 20lgK),若1 min, 则点(1, 20lgK)在低频渐近线的延长线上。,(4) 绘制min频段的渐近特性线,在min频段, 系统开环对数幅频渐近特性线为分段折线。,每两个相邻交接频率间为直线, 交接频率点处, 斜率发生变化。,过(非最小相位)惯性环节交接频率，斜率减小20dB/dec,过(非最小相位)一阶微分环节交接频率，斜率增加20dB/dec,过(非最小相位)振荡环节交接频率，斜率减小40dB/dec,过(非最小相位)二阶微分环节交接频率，斜率增加40dB/dec,多个环节有相同交接频率时，斜率的变化为各个环节对应变化值的代数和。,
