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1、横岗中学九年级数学竞赛试题（本卷满分 120分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷一、选择题（每小题6 分，共 30 分）1操场上，王宏用一根长为a 的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b，王宏站在这个等边三角形内部，则他到等边三角形三边距离之和为（）2ba4ba6ba视具体位置而定2某公园中有一个三角形荷花池，边长分别为6，8， 10，现计划在荷花池上拉一座浮桥，把三角形荷花池周长、面积都平分， 那么这样的设计方案有（） 1 个 2 个 3 个 4 个3 ABCD，是四个
2、城市（如图1） ，它们之间（除 BC，外）都有飞机航班通行机票价格与城市间距离成正比，已知各城市间的机票价格如下：AB： 1000 元；AC：1250 元；AD：800元；BD：600 元；CD：450 元为了 BC，之间的交通方便，要在BC，之间开通飞机航班，请按上述标准计算出BC，之间飞机票价为（） 750 元 780 元 800 元 900 元4横岗中学有一面积为100 米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块 0.8 元； 小地板砖对角线长为40cm， 每块 0.6 元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700 块
3、以上者给予9 折优惠， 凡购买小地板砖1 000 块以上者给予 7 折优惠； 乙公司的优惠办法是：凡购买 700 元以上者， 不管购买大块还是小块均按8 折优惠 在质量、 服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A到甲公司购买大块地板砖B到乙公司购买大块地板砖C到甲公司购买小块地板砖D到乙公司购买小块地板砖5如图 4，在某条公路上，从里程数8m 开始到 4 000m 止，每隔8m 将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m 处种一棵树， 在 16m 处立一盏灯， 在24m 处种一棵树 （相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8 米）, ，且每两盏灯之间的距离相等依此
4、规则，下列里程数800m824m 之间树与灯的排列顺序中正确的是（）ABCD图 1 二、填空题（每小题6 分，共 30 分）6王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜， 第一年这亩地产西瓜625 个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10 个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克）5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数（单位：个）1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克7某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000 元；若不出海，无论天气
5、好坏都要承担 1000 元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月 好 天 气 的 机 会 是60， 坏 天 气 的 机 会 是40， 则 作 出 决 策 为（填“出海”、 “不出海”） 8某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6 所示， 两端由两个半圆组成，一周约 250 米，在一次 400 米跑比赛中， 第一道从起点A 要跑一圈半到终点C第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1 米） 为公平起见，第二跑道起点B 应比第一跑道向前移动9自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000 千米后报废，若安装在后轮上只能行驶 4 000 千米为了行驶尽可能远的路
6、程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、 后轮胎调换使用的方法，那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米10小明想知道刚来的数学老师家的电话号码是多少，老师说：“我家的电话号码是八位数，这个数的前四位数相同，后五位数是连续的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，动动脑筋，算出来后欢迎给我打电话 ”则老师的电话号码是三、解答题（本大题共60 分）1112 （本题 15 分） 方案设计： 东风汽车租赁公司共有30 辆出租汽车，其中甲型汽车20 辆，乙型汽车10 辆现将这30 辆汽车租赁给A、B 两地的旅游公司， 其中 20 辆派往 A 地，10 辆派往 B 地，两地旅游公司与汽车租赁公
7、司商定每天价格如下表：每辆甲型车租金（元/天）每辆乙型车租金（元/天）A 地1 000 800 B 地900 600 （1）设派往 A 地的乙型汽车x 辆，租赁公司这30 辆汽车一天共获得的租金为 y（元） ，求 y与 x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若要使租赁公司这30 辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800 元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30 辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案13 （本题 15 分）实践应用 ：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈图8（1）是其中一个拱圈的实物照
8、片，据有关资料记载 此拱圈高AB 为 10.0m （含拱圈厚度和拉杆长度）， 横向分跨 CD 为 40.0m（1）试在示意图（图8（ 2） ）中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC 的中点）处装有一盏路灯(P 点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN 不得少于1.1m，试求路灯支柱PM 的最低高度 （结果精确到0.1m）14 （本题 20 分） 归纳猜想： 同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图 9，已知正三角形ABC 的中心为O，半径为R，将其沿直线l 向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O 经过的路程是多少？（2）如图 10，将半径为R 的
9、正方形沿直线l 向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O 经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O 所经过的路程是多少（R 为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R 为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12） 通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来九年级数学竞赛试题参考答案一、选择题（每小题5 分，共 30 分）1C2 A3 A45二、填空题（每小题5 分，共 30 分）63 125 7出海82米94 800 1088887654 三、
10、解答题（每小题15 分，共 60 分）1112解：（1）1 000(20)900800yxxx； 6 分（2）依题意，得26 00010026 800x ，又因为010x，810x因为 x 是整数，x8，9，10，方案有3 种 9 分方案 1：A 地派甲型车12 辆，乙型车8 辆； B 地派甲型车8 辆，乙型车2辆；方案 2：A 地派甲型车11 辆，乙型车9 辆； B 地派甲型车9 辆，乙型车1辆；方案 3：A 地派甲型车10 辆，乙型车10 辆； B 地派甲型车10 辆 12 分（3）26 000100yx是一次函数，且1000k， y 随 x 的增大而增大当10x时，这 30 辆车每天获得
11、的租金最多合理的分配方案是A 地派甲型车10 辆，乙型车10 辆； B 地派甲型车10辆 15 分13 （1）如右图，以A 为坐标原点， BA 所在直线为y 轴建立直角坐标系xAy，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2yax， 4 分由题意抛物线过点(2010)D，代入得140a，故拱圈外沿抛物线的解析式为：2140yx 8 分（2）设(10)Nk，则：21(10)2.5(m ) 40k，107.5(m)MNk， 12 分7.51.18.6PMM NPN （m） ，即路灯支柱PM 的最低高度为8.6 米 （其余解法可类似给分） 15 分14解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120 32 180RR 3 分（2）中心 O 经过的路程为90 42 180RR 6 分（3）当 n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的 半 径 为R ， 所 对 的 圆 心 角 为360n， 所 以 中 心O 经 过 的 路 程 为360 2 180R nnR
