排列组合问题的常用策略上学期新人教版ppt培训课件

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1、,解排列组合问题的十七种常用策略,2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力,3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.,教学目标,1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。,完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,复习巩固,1.分类计数原理(加法原理),完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,

2、2.分步计数原理（乘法原理）,分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件,3.分类计数原理分步计数原理区别,分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。,解决排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,一.特殊元素和特殊位置优先策略,例1.由0,1,2,3,4,5

3、可以组成多少个没有重复数字五位奇数.,解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件,7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,练习题,二.相邻元素捆绑策略,例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种

4、不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.,某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）,练习题,20,三.不相邻问题插空策略,例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？,解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 种，,元素相离问题可先把没有位置要求

5、的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）,30,练习题,四.定序问题倍缩空位插入策略,例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法,解:,(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是：,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法,1,思考:可以先让甲

6、乙丙就坐吗?,（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法,4*5*6*7,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理,练习题,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,五.重排问题求幂策略,例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 种分法.,7,1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）,42,2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯

7、,下电梯的方法 （ ）,练习题,六.环排问题线排策略,例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?,解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有_ 种排法即,（5-1)！,一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有,练习题,6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈,120,七.多排问题直排策略,例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再

8、分段研究.,八.排列组合混合问题先选后排策略,例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有_ 种,192,九.小集团问题先整体局部策略,例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五

9、位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？,解：把,当作一个小集团与排队共有_种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_种排法.,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_,2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_种,十.元素相同问题隔板策略,例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形

10、成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,练习题,10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？,2 .x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数,十一.正难则反总体淘汰策略,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？,解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。,再淘汰和小于10

11、的偶数共_,符合条件的取法共有_,9,+,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.,我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?,练习题,十二.平均分组问题除法策略,例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？,解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,C

12、D)共有 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。,1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？,2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法,（1540）,3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_,十三. 合理分类与分步策略,例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个

13、2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?,解：,10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。,本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。,1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_,34,练习题,2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人

14、, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这5人共有多少乘船方法.,27,十四.构造模型策略,例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_ 种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决,练习题,某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？,120,十

15、五.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种还剩下3球3盒序号不能对应，,十五.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种还剩下3球3盒序号不能对应，,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也 只有1种装法,由分步计数原理有2 种,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果,练习题,同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？,(9),2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有_种,72,十六. 分解与合成策略,例16. 30030能被多少个不同的偶数整除,