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1、第二章 函数 高二数学,2.1 函数及其表示,要点梳理 1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个数x,在集合B中,数集,任意,基础知识 自主学习,都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数 值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .显 然，值域是集合B的子集. (3)函数的三要素： 、 和 . (4)相等函数：如果两个函数的 和 完 全一致，则这
2、两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.,唯一确定,定义域,值域,定义域,值域,对应关系,定义域,对应关系,2.函数的表示法表示函数的常用方法有： 、 、 . 3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射. 4.由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,B必须是 .,解析法,图象法,列表法,都有唯,一,函数,非空数集,基础自测 1.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的
3、函数关系的有 ( ) A. B. C. D.解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.,C,2.给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f（x）=是函数；函数y=2x（xN）的图象是一条直线；f（x）= 与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 由函数的定义知正确.满足f（x）= 的x不存在，不正确.又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的点，不正确. 又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确.,A,3.下列各组函数是同一函数的是 ( ),解析 排除A；排除B； 当 即x1时,y=|x|
4、+|x-1|=2x-1,排除C. 故选D.,练习：基础练习2自我测评第1题,4.函数 的定义域为 .解析 若使该函数有意义，则有x-1且x2,其定义域为x|x-1且x2.,x|x-1且x2,题型一 求函数的定义域 【例1】（2009江西理，2）函数的定义域为 （ ）A.（-4，-1） B.（-4，1）C.（-1，1） D.（-1，1求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.解析,思维启迪,C,题型分类 深度剖析,探究提高 （1）求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等 式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： 分式中，分母不为零； 偶次方
5、根中，被开方数非负； 对于y=x0，要求x0； 对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题 的约束. （2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的 关系.,知能迁移1 (2008湖北)函数的定义域为 （ ）A.（-，-42，+）B.（-4，0）（0，1）C.-4，0）（0，1D.-4，0）（0，1）,解析答案 D,题型二 求函数的解析式 1.已知f(x)是二次函数，若f(0)0， 且f(x1)f(x)x1，求f(x)。,解：设f(x)ax2bxc(a0)， 由f(0)0知c0，即f(x)ax2bx. 由f(x1)f(x)x1， 得a(x1)2b(
6、x1)ax2(b1)x1， 即ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 故有解得ab ，因此f(x)x2x.,待定系数法,2.已知3.已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用解方程组法求解.,换元法,拼凑法,探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式； (2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有
7、“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,知能迁移2 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；(3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式.,解 （1）（2）设f（x）=ax+b（a0），则 3f（x+
8、1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）方法一 f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）， 令y=x，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）， f（0）=1，f（x）=x2+x+1. 方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再 令y=-x,得f(x)=x2+x+1.,题型三 分段函数 【例3】1.设函数f(x)= 的定义域为2. 函数f(x)= (1)求函数定义域 （2）求 (3)若f(a)=3求a的值,知能迁移3 设 则fg(3)=_, =_.解析 g(3)=2,fg(3)=f(2)=32+1=7，,7,一、选择题 1.下列四组函数中，表示同一函数的是 ( ),定时检测,解析答案 D,2.已知f(x)= 使f(x)-1成立的x的 取值范围是 ( )A.-4,2) B.-4,2 C.(0,2 D.(-4,2解析,B,3.已知函数f(x)=lg(x+3)的定义域为M,g(x)= 的 定义域为N,则MN等于 ( ) A.x|x-3 B.x|-3-3,N=x|x2.MN=x|-3x1时，-x=2,x=-2(舍去).,log32,9.函数 的定义域为_.解析 要使f(x)有意义，f(x)的定义域为x|x4且x5.,x|x4且x5,
