《数值积分方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值积分方法（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 数值积分方法,5.1 插值型求积公式 5.2 复合梯形公式 5.3 其他复合求积公式 5.4 数值积分公式的代数精度与高斯求积公式,数值积分的应用背景: 1) 被积函数的原函数不能表示为初等函数 某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给出被积函数表达式 3) 被积函数过于复杂,难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值,推算出满 足一定精度的定积分近似值-数值积分方法,预备知识,牛顿莱布尼兹公式 如果函数f (x)在区间a, b上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿莱布尼兹公式,来求定积分。,预备知识,积分中值定理 若f是a, b上的连续函数，则存在xa, b，使,预备知识,广义积分
2、中值定理 若f在a, b上连续，g在a, b上可积，且g(x)在a, b 上不变号，存在x, xa, b，使,数值积分问题,牛顿莱布尼兹公式,找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示,原函数表达式过于复杂,f(x)是由测量或计算得到的数据表,y,y=f(x),x,b,a,o,xk+1,xk,xk-1,数值积分问题,5.1 插值型求积公式,f(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分,定义 设有计算 的求积公式,如其求积系数 ，则称此求积公式为插值型求积公式. 定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.,5.1 插值型求积公式,两点公式 x0=a, x1=b, n=
3、1,梯形公式：,5.1 插值型求积公式,一、梯形公式-两点线性插值,几何意义：用梯形面 积代替被积函数的曲 边梯形面积,梯形公式误差,5.1 插值型求积公式,梯形与曲边梯形面积的对比： 正负决定,三点二次拉格朗日插值积分-辛卜生公式,x0,x2,x1,y=f(x),L2(x),5.1 插值型求积公式,辛卜生公式: 取x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b, n=2,辛卜生公式：,5.1 插值型求积公式,误差 精度较梯形高,y= f(x),a,b,5.2 复合梯形公式,分段线性插值-复合梯形法,等分求积区间，比如取步长 ，分a, b为n等分，分点为 ,k = 0, 1, 2, n,2. 在
4、区间 xk, xk+1上求,3. 取和值 ，作为整个区间上的积分近似值,复合梯形公式,误差由各小区间梯形误差累加,小区间增多,误差减小控制,x0,x1,x2,xk,xk+1,xn-1,xn,复合梯形公式(节点加密),复合梯形公式(节点加密),由 递推,逐渐逼近，达到计算精度即停止。,条件成立,则终止计算并以T2n为定积分 的近似值,教材P68-例5.1,(1) 牛顿-莱布尼兹公式0.8670 (2) 梯形公式0.75 (3) 辛卜生公式0.8775 (4) 复合梯形公式T4=0.8617,5.3 其它复合求积公式,借用积分中值定理 若f是a, b上的连续函数，则存在xa, b，使得,将其用于积
5、分的近似计算，取=b, 得,-积分右矩形公式,复合右矩形公式,如在区间a,b内插入节点xj=a+jh(j=0,1,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：,利用拉格朗日中值定理 求右矩形公式的误差估计,复合右矩形公式,复合辛卜生公式,记,每2个节点间增加一个中值节点, 节点数由n2n. 节距变为h=(b-a)/2n.,展开, 得,利用数据表,计算积分,复合求积方法比较,取n=4, 用复合辛卜生公式,复化求积方法,定义 如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。,定理 对于求积公式(a)具有m次代
6、数精度的充分必要条件为该公式对 f(x)=1, x, xm 精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。,5.4 数值积分公式的代数精度,求代数精度的阶数-确定以下求积公式的代数精度,5.4 数值积分公式的代数精度,?阶代数精度,5.4 数值积分公式的代数精度,证明代数精度的阶数,若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有2n+2个待定参数xk和Ak (k=0,1,n),适当选取这些参数，可使求积公式具有2n+1次代数精度，称这种用n+1个求积节点而具有2n+1次代数精度的求积公式为高斯求积公式，n+1个节点为高斯点。,5.4 高斯求积公式,对于插值型求积公式,例 ：求形如,的两点高斯求积公式
7、。,梯形公式：,高斯公式：,对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取， 使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3 都准确成立,3次代数精度,5.4 高斯求积公式,5.4 高斯求积公式,求三点高斯求积公式,高斯公式：,对求积公式中的6个待定系数A0, A1, A2, x0, x1 , x2， 使求积公式对f (x) = 1, x, x2, x3, x4, x5都准确成立,代数精度阶数(2n+1)=5,5.4 高斯求积公式,n+1个求积节点数为3n=2,得三点高斯求积公式:,5.4 高斯求积公式,高斯求积公式在定积分 中的应用,构造对应函数x(t)=k+jt, 使x(-1)=a且x(1)=b得 k=(a+b)/2, j=(b-a)/2，相应有,P75. 例5.6,(1) 梯形公式0.75 (2) 辛卜生公式0.8775 (3) 复合梯形公式T4=0.8617,求二重积分的四点高斯求积公式(了解),其中:,将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中,3. 用n=8的复合梯形求积公式，计算积分,并与精确值(I = 0. 88208139)比较。(计算中保留6位小数),2. 习题五 5.8, P80,作 业,1. P78，实验五 5.1, 积分区间改成2,3.(增加(5)用两点高斯求积公式）,
