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1、第二章 极限与连续,第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 极限运算法则、两个重要极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的连续性 第六节 闭区间上连续函数的性质,第一节 数列的极限,一、数列极限的概念 二、数列极限的几何意义数列极限的性质 三、小结,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、数列极限的概念,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.,2.数列可看作自变量为正整数n的函数,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,如何用数学语言刻划“无限接近” ？,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,数
2、列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,1、唯一性,定理1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,二、数列极限的性质,2、有界性,例如,有界,无界,定理2 如果数列收敛，则数列一定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,注意：有界数列也可能发散,3.收敛数列的保号性,4、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,三、小结
3、,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,第二节 函数的极限,一、自变量趋向有限值时函数的极限 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质 四、极限存在准则,一、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例1,证,例2,证,例3,证,函数在点x= -1处没有定义.,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例4,证,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例5,证,三、函数极限的性质,定理3 (函数极限的保号性),推论
4、,定理4(函数极限与数列极限的关系),证,例6,证,二者不相等,四、极限存在准则,证,上面两个不等式同时成立,即,上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。,注意:,准则 I和准则 I称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼准则得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,第三节 极限运算法则、两个重要极限,一、极限运算法则 二、例题 三、两个重要极限,1、无穷小的运算性质:,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,一、极限运算法则,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理2 有界函
5、数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。,定理3,证,由无穷小运算法则,得,2.极限的四则运算,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,意义：,3.复合函数的极限运算法则,二、例题,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
6、,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,左右极限存在且相等,例7,解,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,三、两个重要极限,(1),例3,解,(2),类似地,例4,解,例5,解,第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小 二、无穷小的比较与等价无穷小 三、无穷大 四、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,证,二、无穷小的比较等价无穷小,例如,由上面结果可看出，同时无穷小,
7、但是趋向于零的“快慢”程度却有不同.,不可比.,定义:,例如，,例1,解,证,必要性,充分性,例2 因为,常用等价无穷小:,例3,解,定理(等价无穷小代换定理),证,例4,解,例5,解,注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等价无穷小代换,三、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,四、无穷小与无穷大的关系,定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.,第五节
8、函数的连续性,一、函数的连续性 二、函数的间断点及类型 三、初等函数的连续性,一、函数的连续性,例1,证,由定义2知,定理,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例2,证,例3,解,右连续但不左连续 ,二、函数的间断点及类型,可去间断点,例4,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,在此例中,跳跃间断点,例5,解,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,第二类间断点,例6,解,例7,解,三、初等函数的连续性,定理1,例如,1、四则运算的连续性,例如,反三角函数在
9、其定义域内皆连续.,2、反函数与复合函数的连续性,定理3,例1,解,定理4,注意 定理4是定理3的特殊情况.,例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,3、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,例3,例4,解,解,注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.,第六节 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理 二、零点存在定理与介值定理,一、有界性与最大值和最小值定理,例如,定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,二、零点存在定理与介值定理,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,
